イントロ
代表的な分布の性質を解説します。
今回は超幾何分布です。
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定義
超幾何分布は3つのパラメータ$N,M,n$をとり、全部で$N$個のくじのうち、アタリが$M$個、ハズレが$N-M$個ある場合に、$n$個のくじを引いた中にあるアタリのくじの個数の確率を求めるのに利用します。
この超幾何分布を$HG(N,M,n)$と書いたりします。
確率関数は、$X \sim HG(N,M,n)$として、
\begin{align}
P(X=k) = \begin{cases}\cfrac{ \displaystyle \binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{ \displaystyle \binom{N}{n}} & (k=0,1,\cdots,n) \\
0&(\text{others})
\end{cases}
\end{align}
P(X=k) = \begin{cases}\cfrac{ \displaystyle \binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{ \displaystyle \binom{N}{n}} & (k=0,1,\cdots,n) \\
0&(\text{others})
\end{cases}
\end{align}
と表されます。
期待値
定義通りに計算します。
途中で$\binom{a}{b} = \frac{a}{b}\binom{a-1}{b-1}$を用います。
\begin{align}
&E(X) \\
&= \sum_{k=0}^n k \times P(X=k)\\
&=\sum_{k=0}^n k \times \binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}\bigg/ \binom{N}{n}\\
&=\sum_{k=0}^n k \times \frac{M}{k}\binom{M-1}{k-1} \binom{N-M}{n-k} \bigg/ \frac{N}{n}\binom{N-1}{n-1}\\
&=n\frac{M}{N}\sum_{k=1}^n \binom{M-1}{k-1} \binom{N-M}{n-k} \bigg/ \binom{N-1}{n-1}\\
&=n\frac{M}{N} \sum_{k=1}^n \binom{M-1}{k-1} \binom{(N-1)-(M-1)}{(n-1)-(k-1)} \bigg/\binom{N-1}{n-1}\\
&(\text{Put } t \text{ as } k-1)\\
&=n\frac{M}{N} \underline{\sum_{t=0}^{n-1} \binom{M-1}{t} \binom{(N-1)-(M-1)}{(n-1)-t} \bigg/ \binom{N-1}{n-1}}\\
&= n\frac{M}{N}
\end{align}
&E(X) \\
&= \sum_{k=0}^n k \times P(X=k)\\
&=\sum_{k=0}^n k \times \binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}\bigg/ \binom{N}{n}\\
&=\sum_{k=0}^n k \times \frac{M}{k}\binom{M-1}{k-1} \binom{N-M}{n-k} \bigg/ \frac{N}{n}\binom{N-1}{n-1}\\
&=n\frac{M}{N}\sum_{k=1}^n \binom{M-1}{k-1} \binom{N-M}{n-k} \bigg/ \binom{N-1}{n-1}\\
&=n\frac{M}{N} \sum_{k=1}^n \binom{M-1}{k-1} \binom{(N-1)-(M-1)}{(n-1)-(k-1)} \bigg/\binom{N-1}{n-1}\\
&(\text{Put } t \text{ as } k-1)\\
&=n\frac{M}{N} \underline{\sum_{t=0}^{n-1} \binom{M-1}{t} \binom{(N-1)-(M-1)}{(n-1)-t} \bigg/ \binom{N-1}{n-1}}\\
&= n\frac{M}{N}
\end{align}
最後の式の変形は、下線部が$HG(N-1,M-1,n-1)$の超幾何分布の全確率$1$となることを利用しました。
分散
$V(X)=E(X^2) – E(X)^2$を用いて計算します。
先ほど出てきた$HG(N-1,M-1,n-1)$に従う確率変数を$Y$とします。
\begin{align}
&E(X^2) \\
&= \sum_{k=0}^n k^2 \times P(X=k)\\
&=\sum_{k=0}^n k^2 \times \binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k} \bigg/ \binom{N}{n}\\
&=\sum_{k=0}^n k^2 \times \frac{M}{k}\binom{M-1}{k-1} \binom{N-M}{n-k} \bigg/ \frac{N}{n}\binom{N-1}{n-1}\\
&=n\frac{M}{N}\sum_{k=1}^n k\times\binom{M-1}{k-1} \binom{N-M}{n-k}\bigg/ \binom{N-1}{n-1}\\
&=n\frac{M}{N} \sum_{k=1}^n k\times\binom{M-1}{k-1} \binom{(N-1)-(M-1)}{(n-1)-(k-1)}\bigg/ \binom{N-1}{n-1}\\
&(\text{Put } t \text{ as } k-1)\\
&=n\frac{M}{N} \sum_{t=0}^{n-1} (t+1)\binom{M-1}{t} \binom{(N-1)-(M-1)}{(n-1)-t}\bigg/ \binom{N-1}{n-1}\\
&= n\frac{M}{N} (E(Y) + 1)\\
&= n\frac{M}{N} \left((n-1)\frac{M-1}{N-1} + 1\right)
\end{align}
&E(X^2) \\
&= \sum_{k=0}^n k^2 \times P(X=k)\\
&=\sum_{k=0}^n k^2 \times \binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k} \bigg/ \binom{N}{n}\\
&=\sum_{k=0}^n k^2 \times \frac{M}{k}\binom{M-1}{k-1} \binom{N-M}{n-k} \bigg/ \frac{N}{n}\binom{N-1}{n-1}\\
&=n\frac{M}{N}\sum_{k=1}^n k\times\binom{M-1}{k-1} \binom{N-M}{n-k}\bigg/ \binom{N-1}{n-1}\\
&=n\frac{M}{N} \sum_{k=1}^n k\times\binom{M-1}{k-1} \binom{(N-1)-(M-1)}{(n-1)-(k-1)}\bigg/ \binom{N-1}{n-1}\\
&(\text{Put } t \text{ as } k-1)\\
&=n\frac{M}{N} \sum_{t=0}^{n-1} (t+1)\binom{M-1}{t} \binom{(N-1)-(M-1)}{(n-1)-t}\bigg/ \binom{N-1}{n-1}\\
&= n\frac{M}{N} (E(Y) + 1)\\
&= n\frac{M}{N} \left((n-1)\frac{M-1}{N-1} + 1\right)
\end{align}
これから、
\begin{align}
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2\\
&= n\frac{M}{N} \left((n-1)\frac{M-1}{N-1} + 1\right) – n^2\frac{M^2}{N^2}\\
&= n\frac{M}{N}\frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}
\end{align}
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2\\
&= n\frac{M}{N} \left((n-1)\frac{M-1}{N-1} + 1\right) – n^2\frac{M^2}{N^2}\\
&= n\frac{M}{N}\frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}
\end{align}
積率母関数
積率母関数は簡単な形では求められないようです。