ex4.1.4 一様分布のランダム標本の和の分布

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.1.4

$X_1 , X_2 \sim U(0,2)$より, 密度関数$f_X$は,

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases}
\cfrac{1}{2}&0 < x < 2\lnl 0&\text{その他} \end{cases} \end{align}
である. $T=X_1+X_2 , S=X_2$とすると変換のヤコビアン$J$は,
\begin{align} J = \left| \begin{array}{cc} \cfrac{\partial x_1}{\partial t}& \cfrac{\partial x_1}{\partial s}\lnl \cfrac{\partial x_2}{\partial t}&\cfrac{\partial x_2}{\partial s} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0&1 \end{array} \right| = 1 \end{align}
となる. よって$T$の密度関数$f_T(t)$は,
\begin{align} f_T(t) = \int_0^2 f_X(t-s)f_X(s) |J| \delt s\label{eq-ft} \end{align}
となる. ここで, $f_X(t-s) \neq 0 , f_X(s) \ne 0$となる$t,s$の条件を求める. $f_X$の定義より,
\begin{align} \begin{cases}0 < t-s < 2 \lnl 0 < s < 2\end{cases}\label{eq-joken} \end{align}
を同時に満たす必要がある.$\eqref{eq-joken}$の上の式を変形すると ,
\begin{align} t-2 < s < t \end{align}
となるから, 結局,
\begin{align} \max(0,t-2) < s < \min(2,t)\label{eq-maxmin} \end{align}
となる.また , $\eqref{eq-joken}$ の2つの式を辺々足すと$0 < t < 4$となる. よって, $t$の値で場合分けすると $\eqref{eq-maxmin}$ は,
\begin{align} \begin{cases}0 < s < t& (0 < t < 2)\lnl t-2 < s < t & ( 2 \le t < 4)\end{cases} \end{align}
となる.これを用いて$\eqref{eq-ft}$を計算する.

$0 < t < 2$のとき,

\begin{align} f_T(t) = \int_0^t f_X(t-s)f_X(s) |J| \delt s = \int_0^t \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \delt s = \frac{1}{4}t \end{align}

$2 \le t < 4$のとき,

\begin{align} f_T(t) = \int_{t-2}^2 f_X(t-s)f_X(s) |J| \delt s = \int_{t-2}^2 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \delt s = 1 - \frac{1}{4}t \end{align}
以上まとめると,
\begin{align} f_T(t) = \begin{cases}\cfrac{1}{4}t&(0 < t < 2)\lnl 1-\cfrac{1}{4}t&(2 \le t < 4)\lnl 0 &\text{(その他)}\end{cases} \end{align}
次に , $T$の分布関数$F_T(t)$を求める.

$t\le 0$のとき,明らかに$F_T(t) = 0$.

$0 < t < 2$のとき,

\begin{align} F_T(t) &= \int_0^t f_T(s) \delt s = \frac{t^2}{8} \end{align}
$2 \le t < 4$のとき,
\begin{align} F_T(t) &= \int_0^t f_T(s) \delt s \lnl &= \int_0^2 \frac{1}{4}s \delt s + \int_2^t 1 - \frac{1}{4}s \delt s \lnl &= -\frac{t^2}{8} + t - 1 \end{align}
$t \ge 4$のとき , $F_T(t) = 1$

以上まとめると,

\begin{align}
F_T(t) = \begin{cases}
0 & (t \le 0)\lnl
\cfrac{t^2}{8}& (0 < t< 2)\lnl -\cfrac{t^2}{8} + t - 1 &(2 \le t < 4)\lnl 1 & (t \ge 4) \end{cases} \end{align}
となる.