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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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(i)
多項分布の確率関数から、

\begin{align}
&P(X_1=5,X_2=6,X_3=3,X_4=2,X_5=4) \lnl
&\qquad =\frac{20!}{5!6!3!2!4!}(0.05)^5(0.1)^6(0.45)^3(0.25)^2(0.15)^4
\end{align}

(ii)
題意から$ X_2,X_4 $以外となる人数は11人である。その割合は$1-0.1-0.25=0.65$であるから、

\begin{align}
&P(X_2=6,X_4=3) \lnl
&\qquad=\frac{20!}{6!3!11!}(0.1)^6(0.25)^3(0.65)^{11}
\end{align}

(iii)
$ X_1+X_2 $の周辺分布は $n=20 , p=0.15$の二項分布に従うから、

\begin{align}
E(X_1+X_2) &= 20\times 0.15 = 3\lnl
V(X_1 + X_2) &= 20(0.15)(0.85) = 2.55
\end{align}