ex3.9.3

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.9.3

$X = x , Y = y , Z=z$のとき、原点からの距離は、$ L= \sqrt{x^2+ y^2+z^2} $である。

\begin{align}
L \le 1 \Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 \le 1
\end{align}

$ X^2 , Y^2 , Z^2 $は$X,Y,Z$が標準正規分布に従うことからそれぞれ自由度$1$の$\chi^2$分布に従う。
また、$\chi^2$分布の再生性から、$ X^2 + Y^2 + Z^2 $は自由度$3$の$\chi^2$分布に従う。

\begin{align}
P(X^2 + Y^2 + Z^2 \le 1) &= \int_0^1 \frac{1}{2^\frac{3}{2} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) } x^\frac{1}{2} e^{ -\frac{x}{2} } dx
\end{align}

この右辺を直接的には計算できないが、本書のT.3の$ \chi^2 $分布のパーセント点の表から、 自由度$n= 3$で$x=1.0052 \fallingdotseq 1$の場合$p=0.20$であることがわかる。
従って、求める確率は約$0.2$。

Rでの計算

※右辺の値をRで表示させると、

> pchisq(df = 3,q = 1)
[1] 0.198748

となり、四捨五入すれば約$0.2$。