はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.3.8
確率密度関数は
\begin{align}
f(x;p) = \begin{cases} p(1-p)^x&x=0,1,\cdots\\0&\text{その他}\end{cases}
\end{align}
f(x;p) = \begin{cases} p(1-p)^x&x=0,1,\cdots\\0&\text{その他}\end{cases}
\end{align}
尤度関数は
\begin{align}
L(p;\bm{x}) = p^n(1-p)^{n\overline{x}}
\end{align}
L(p;\bm{x}) = p^n(1-p)^{n\overline{x}}
\end{align}
ただし,$\overline{x}= \displaystyle \cfrac{1}{n}\ssum_{i=1}^n x_i$である.対数尤度関数$l$は
\begin{align}
l(p;\bm{x}) = n\log p + n\overline{x}\log(1-p)
\end{align}
l(p;\bm{x}) = n\log p + n\overline{x}\log(1-p)
\end{align}
$\frac{\partial}{\partial p}l = 0$を解く.
\begin{align}
&\frac{\partial}{\partial p}l = \frac{n}{p} – \frac{n}{1-p} \overline{x} = 0 \lnl
\Longleftrightarrow & p = \frac{1}{1+\overline{x}}
\end{align}
&\frac{\partial}{\partial p}l = \frac{n}{p} – \frac{n}{1-p} \overline{x} = 0 \lnl
\Longleftrightarrow & p = \frac{1}{1+\overline{x}}
\end{align}
増減表は
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
p & \cdots & \frac{1}{1+\overline{x}} & \cdots \\
\hline
\frac{\partial}{\partial p}l & + & 0 & – \\
\hline
L & \nearrow & \text{最大} & \searrow \\
\hline
\end{array} $
\hline
p & \cdots & \frac{1}{1+\overline{x}} & \cdots \\
\hline
\frac{\partial}{\partial p}l & + & 0 & – \\
\hline
L & \nearrow & \text{最大} & \searrow \\
\hline
\end{array} $
となるので,$p$のMLEは$\cfrac{1}{1+\overline{X}}$である.
母集団分布の平均$\mu$と分散$\sigma^2$は
\begin{align}
\mu = \frac{1-p}{p} ,\quad \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}
\end{align}
\mu = \frac{1-p}{p} ,\quad \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}
\end{align}
であるので,それらのMLE $\hat{\mu}, \hat{\sigma}^2$は
\begin{align}
\hat{\mu} = \frac{1-\hat{p}}{\hat{p}},\quad
\hat{\sigma}^2 = \frac{1-\hat{p}}{\hat{p}^2}
\end{align}
\hat{\mu} = \frac{1-\hat{p}}{\hat{p}},\quad
\hat{\sigma}^2 = \frac{1-\hat{p}}{\hat{p}^2}
\end{align}
となる.