ex7.2.9 正規分布の分散の片側検定に対するUMP検定(具体値)

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.2.9

ex7.2.5 より ,水準$\alpha$のUMP検定は, 次のような検定関数$\varphi$を持つ検定である.

\begin{align}
\varphi(\bm{X}) = \begin{cases}
1&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i}^2 > k\lnl
0&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i}^2 \le k\lnl
\end{cases}
\end{align}

ただし, $k$は,
\begin{align}
P\left({\chi^2}_n > \frac{k}{{\sigma_0}^2}\right) = \alpha
\end{align}

を満たす.なお${\chi^2}_n$は自由度$n$の$\chi^2$分布に従う確率変数とする.

与えられた数値とテキスト巻末の(T.3)を使うと, ${\sigma_0}^2 = 100 , {\chi^2}_{0.05}(25) = 14.611$であるから,

\begin{align}
k = 1461
\end{align}

となる.

検出力関数は,

\begin{align}
\beta(\sigma^2) &= P\left(\sum_{i=1}^{25} {x_i}^2 > 1461\right)\lnl
&=P\left(\sum_{i=1}^{25} \left(\frac{x_i}{\sigma}\right)^2 > \frac{1461}{\sigma^2}\right)\lnl
&=P\left(\chi^2(25) > \frac{1461}{\sigma^2}\right)
\end{align}

となる.ここで $\chi^2(25)$は自由度$25$の$\chi^2$分布に従う確率変数である.

また、$\displaystyle \sum_{i=1}^{25} {x_i}^2 = 1124 < 1461$であるので, $H_0$は棄却されない.