ex7.2.7 正規分布の分散の両側検定に対するUMP検定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.2.7

平均$0$, 分散$\sigma^2$の正規分布の密度関数は,

\begin{align}
f(x;\sigma^2) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)\lnl
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2} -\frac{1}{2}\log \sigma^2 \right)
\end{align}

である.これは ,
\begin{align}
\begin{cases}
h(x) &= \cfrac{1}{2\pi}\lnl
Q(\sigma^2) &= -\cfrac{1}{2\sigma^2}\lnl
T(x) &= x^2\lnl
d(\sigma^2) &= -\cfrac{1}{2}\log \sigma^2
\end{cases}
\end{align}

とおけば,
\begin{align}
f(x;\sigma^2) = \exp\Big[Q(\sigma^2)T(x) + d(\sigma^2)\Big]h(x)
\end{align}

と表せる. なお, $Q(\sigma^2)$は$\sigma^2$に関する狭義単調増加である.

よって, 水準$\alpha$のUMP検定は, 次のような検定関数$\varphi$を持つ検定である.

\begin{align}
\varphi(\bm{X}) = \begin{cases}
1&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i}^2 \le k_1 , k_2 \le \sum_{i=1}^n {x_i}^2\lnl
0&\displaystyle k_1 < \sum_{i=1}^n {x_i}^2 < k_2\lnl \end{cases} \end{align}
ただし, $k_1 , k_2$は, $Y = \displaystyle \sum_{i=1}^n {X_i}^2$とおくと,
\begin{align} \begin{cases} &\text{(i)} E(\varphi(Y)) = \alpha \lnl &\text{(ii)} E(Y\varphi(Y)) = E(Y)\alpha \end{cases} \end{align}
を満たす. ここで、
\begin{align} \sum_{i=1}^n \frac{{x_i}^2}{{\sigma_0}^2} \sim \chi^2(n) = \mathrm{Ga}\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right) \end{align}
である. $G\sim \mathrm{Ga}(a,b)$としたとき, 定数$c$に対して , $cG \sim \mathrm{Ga}\left(a,\cfrac{b}{c}\right)$である((ex3.7.2)参照)ことを用いると,
\begin{align}
Y= \sum_{i=1}^n {X_i}^2 \sim \mathrm{Ga}\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2{\sigma_0}^2}\right)
\end{align}

となる.すなわち, $Y$の確率密度関数$f_Y(y)$は,
\begin{align}
f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(n/2)}\left(\frac{1}{2{\sigma_0}^2}\right)^{\frac{n}{2}} y^{\frac{n}{2}-1} \exp\left(-\frac{y}{2{\sigma_0}^2}\right)
\end{align}

となる. これを利用すると$\text{(i)}$ , $\text{(ii)}$は次のように計算できる.

\begin{align}
\text{(i)}& E(\varphi(Y)) = \alpha \lnl
&\Longleftrightarrow \left(\int_0^{k_1} + \int_{k_2}^\infty\right)f_Y(y) \delt y = \alpha \lnl
&\Longleftrightarrow \int_{k_1}^{k_2} f_Y(y) \delt y = 1- \alpha \Lnl
\text{(ii)}& E(Y\varphi(Y)) = E(Y)\alpha \lnl
&\Longleftrightarrow \left(\int_0^{k_1} + \int_{k_2}^\infty\right) y\cdot f_Y(y) \delt y = \alpha n {\sigma_0}^2 \qquad (\because E(Y) = n{\sigma_0}^2) \lnl
&\Longleftrightarrow \left(\int_0^{\infty} – \int_{k_1}^{k_2}\right) y\cdot f_Y(y) \delt y = \alpha n {\sigma_0}^2 \lnl
&\Longleftrightarrow n{\sigma_0}^2 – \int_{k_1}^{k_2} y\cdot f_Y(y) \delt y = \alpha n {\sigma_0}^2 \lnl
\end{align}