3.3.確率の公理

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
これまで説明した確率とは同様に確からしい根元事象を持つ事象に対して定義されるものでした.
これでは, ちょっとひねった確率を計算できなくなります.

そこで確率を別の形で定義し, いろいろな事象を扱えるようにしたいと思います.
本ページは直感での理解が難しい内容となりますが, ご理解いただければと思います.

確率の公理

標本空間$\Omega$の事象$A$に対し,次の確率の公理(Probability Axioms)を満たすように実数を対応させる関数$P$を確率(Probability)という.

\begin{align}
&\text{(i)} P(A) \ge 0\notag\\
&\text{(ii)}\tag{} P(\Omega) = 1\notag\\
&\text{(iii)}A_1, A_2,\cdots \text{が互いに排反する事象のとき,}\notag\\
&\qquad P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right)= \sum_{i=1}^\infty P(A_i)\notag
\end{align}

離散型標本空間と連続型標本空間

標本空間$\Omega$が有限個または加算無限個(つまり高々加算個)の根元事象を持つ場合, 標本空間$\Omega$を離散型標本空間(Discrete Sample Space)という.これに対して,標本空間$\Omega$が非加算個の根元事象を持つ場合,標本空間$\Omega$を連続型標本空間(Continuous Sample Space)という.

基本的な性質

いろいろな確率の計算で示したことも含めて, 基本的な性質を示します.
標本空間を$\Omega$ , 空事象を$\phi$ , 事象$A$の補事象を$A^\mathrm{c}$とします.

\begin{align}
&\text{空事象の確率} \notag\\
&\qquad P(\phi ) = 0 \label{eq-empty-event}\lnl
&\text{有限個の互いに排反な事象の和事象の確率}\notag\\
&\qquad A_i \cap A_j = \phi (i\neq j) \Longrightarrow P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \label{eq-disjoint-event}\lnl
&\text{余事象の確率} \notag\\
&\qquad P(A^\mathrm{c}) = 1- PA() \label{eq-complementary-event}\lnl
&\text{確率の単調性} \notag\\
&\qquad A \subseteq B \Longrightarrow P(A) \le P(B) \label{eq-subset-event}\lnl
&\text{確率の値域} \notag\\
&\qquad 0 \le P(A) \le 1\label{eq-probability-range}\lnl
&\text{加法定理} \notag\\
&\qquad P(A\cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\label{eq-addition-rule}\lnl
\end{align}

これらはいずれも確率の公理から導けます.
たとえば$\eqref{eq-empty-event}$は,$\Omega = \Omega \cup \phi \cup \phi \cup \cdots$であり,それらは互いに排反する事象ですから,確率の公理(iii)により
\begin{align}
&P(\Omega) = P(\Omega) + P(\phi) + P(\phi) + \cdots\\
\Longleftrightarrow &1 = 1 + P(\phi) + P(\phi) + \cdots
\end{align}

一方確率の公理(ii)により$P(\phi) \ge 0$ですので,$P(\phi) = 0$でなくてはいけません.

$\eqref{eq-disjoint-event}$は確率の公理(iii)に似ています. 公理は無限の事象に対しての話ですがこれが有限個の事象に対しても成り立つということです.これは$A_k = \phi , k \ge n+1$として確率の公理(iii)を用いるとすぐに導出できます.

$\eqref{eq-probability-range}$は大切です.確率は必ず$[0,1]$の範囲に収まります.

同様に確からしい確率との対応

同様に確からしい確率を確率の公理に当てはめて定式化しておきましょう.
離散型標本空間のうち,有限個の根元事象を持つ標本空間$\Omega$を考えます.これ以外の標本空間では同様に確からしい確率は定義できません.
標本空間$\Omega$の元の個数を$n = n(\Omega)$とします.また各根元事象を$\omega_1, \omega_2,\cdots,\omega_n$とします.
このとき関数$P$を事象$A$に対して次を満たすように定義すればこれは確率になります.

\begin{align}
&P(\omega_i) = \frac{1}{n} , \quad(i=1,2,\cdots,n) \\
&P(A) = \sum_{\omega_i \in A} P(\omega_i)
\end{align}

$P$が確率の公理を満たすことは簡単に確認できます.