ex1.3.6 条件付き確率のいろいろな計算(その3)

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.3.6

(i)
(a)

\begin{align} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{2}{5}\end{align}

(b)
\begin{align} P(A^c|B)=1-P(A|B) = \frac{3}{5}\end{align}

(c)
\begin{align}
P(A|B^c)&=\frac{P(A\cap B^c)}{P(B^c)}\\
&=\frac{P(A)P(B^c|A)}{P(B^c)} \\
&=\frac{P(A)}{P(B^c)} \cdot (1- P(B|A)) \\
&=\frac{P(A)}{P(B^c)} \cdot \left(1- \frac{P(B\cap A)}{P(A)}\right) \\
&=\frac{2}{5}
\end{align}

(d)

\begin{align} P(B|A) = \frac{P(B\cap A)}{P(A)} = \frac{1}{2}\end{align}

(e)
\begin{align}
P(B|A^c) &=\frac{P(A^c\cap B)}{P(A^c)}\\
&=\frac{P(B) P(A^c|B)}{P(A^c)} \\
&=\frac{1}{2}
\end{align}

(ii)
(a)
\begin{align} P(A | A\cup B) &= \frac{P(A\cap(A\cup B) ) }{P(A\cup B)}\\
&= \frac{P(A)}{P(A) + P(B) – P(A\cap B)}\\
&= \frac{4}{7}\end{align}

(b)
\begin{align} P(A| A\cap B) = \frac{P(A\cap (A \cap B))}{P(A\cap B)} = 1\end{align}

(c)
\begin{align} P(A|A^c\cap B) = \frac{P(A\cap A^c \cap B)}{P(A^c \cap B)} = 0\end{align}

(d)
\begin{align} P(A|A^c\cup B) &= \frac{P(A\cap (A^c \cup B) )}{P(A^c \cup B)} \\
&= \frac{P(\phi \cup (A\cap B)) }{P(A^c) + P(B) -P(A^c \cap B)} \\
&= \frac{1}{4}\end{align}

(e)
\begin{align} P(A^c|A \cup B) = 1 – P(A| A\cup B) = \frac{3}{7}\end{align}

(iii)
(a)

\begin{align}
&P(A| A\cup B \cup C) \\
&\quad= \frac{P(A\cap (A\cup B \cup C) )}{P(A \cup B \cup C)} \\
&\quad= P(A)/\{P(A) + P(B) + P(C) – P(A\cap B) \\
&\quad\qquad- P(B \cap C) – P(C \cap A) + P(A\cap B \cap C)\} \\
&\quad=\frac{4}{9}
\end{align}

(b)

\begin{align}P(A^c | A\cup B \cup C) = 1 – P(A| A\cup B \cup C) = \frac{5}{9}\end{align}

(c)
\begin{align}
P(A\cap B| A\cup B\cup C) &= \frac{P( (A\cap B) \cap (A\cup B \cup C) )}{P(A\cup B \cup C)}\\
& = \frac{P( A\cap B) }{P(A\cup B \cup C)} \\
&=\frac{2}{9}
\end{align}

(d)
\begin{align}
P(A\cup B| A\cup B\cup C) &= \frac{P( (A\cup B) \cap (A\cup B \cup C) )}{P(A\cup B \cup C)} \\
&= \frac{P( A\cup B) }{P(A\cup B \cup C)} \\
&=\frac{7}{9}
\end{align}