はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex3.4.4
ex3.4.3より、
\begin{align}
&\frac{P(X=x+1)}{P(X=x)} = \frac{(r+x)}{(x+1)}(1-p) \ge 1\lnl
&\Leftrightarrow x \le \frac{(r-1)(1-p)}{p} – 1
\end{align}
&\frac{P(X=x+1)}{P(X=x)} = \frac{(r+x)}{(x+1)}(1-p) \ge 1\lnl
&\Leftrightarrow x \le \frac{(r-1)(1-p)}{p} – 1
\end{align}
ここで、
\begin{align}
c = \frac{(r-1)(1-p)}{p}
\end{align}
c = \frac{(r-1)(1-p)}{p}
\end{align}
とおく。
(1)$c$が整数の時、
\begin{align}
P(X=0) < P(X=1) &< \cdots < \\ &\quad P(X=c-1) = P(X=c) \\ &\qquad\quad > P(X=c+1) > \cdots
\end{align}
P(X=0) < P(X=1) &< \cdots < \\ &\quad P(X=c-1) = P(X=c) \\ &\qquad\quad > P(X=c+1) > \cdots
\end{align}
(2)$c$が整数でない場合、$z$を$c$を超えない最大の整数とすると、
$ z-c < c-1 < z < c< z+1 $より、
\begin{align}
P(X=0) < P(X=1) < &\cdots < P(X=z-1) < \\
&\quad P(X=z) \\
&\qquad > P(X=z+1) > \cdots
\end{align}
\end{align}
よって示された。