4.8.積率と積率母関数

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
確率変数$X$の期待値は$E(X)$, 分散は$E\big[\big(X-E(X)\big)^2\big]$でした.
このように$k$を正整数として$E(X^k)$や$E\big[\big(X-E(X)\big)^k\big]$は確率変数の分布の様子を表してくれると考えられます.

今回はこのような値について学んでいきます.

積率

$k$をある正整数とし$E\big(X^k\big)$を確率変数$X$の$k$次積率(k-th moment)といいます.
また $\mu = E(X)$としたとき,$E\big[(X-\mu)^k\big]$を$k$次の中心積率(k-th central moment)や平均周りの$k$次の積率といいます.積率と呼ばずにモーメントと呼んでも同じ意味です.

積率の性質

積率の存在性

$k$次の積率は常に存在するとは限りません.例えばコーシー分布は$1$次の積率(期待値)が存在しません.

しかし, 高次の積率が存在すれば低次の積率は存在します.つまり$j,k$を正整数とし $j < k$としたとき, $k$次の積率が存在すれば$j$次の積率が存在します.

平均周りの$1$次の積率

平均周りの$1$次の積率は常に$0$です.(平均が存在する場合)
つまり, $E(X-E(X)) = 0$です.

対称な分布の平均周りの$k$次の積率

分布が期待値$\mu$に対して対象であれば, 平均周りの$k$次の積率は$k$が奇数のとき$0$です.(存在する場合)

積率母関数

確率変数$X$の積率母関数(Moment Generating Function)またはモーメント母関数は次のように定義されます.$t\in \mathbb{R}$として,

\begin{align}
m_X(t) = E\big(e^{tX}\big) = \begin{cases}
\displaystyle \sum_{k} e^{tk} f_X(k)&\text{離散型の場合}\lnl
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f_X(x)\delt x&\text{連続型の場合}
\end{cases}
\end{align}

$m_X(t) < \infty$のとき積率母関数は存在するといいます. 全ての$t\in \mathbb{R}$で存在する場合もありますし, 特定の範囲の$t$で存在する場合もあります.また,$t=0$の場合は必ず存在します. $n$次元確率変数$\bm{X} = (X_1,X_2,\cdots,X_n)$の積率母関数は$(t_1,t_2,\cdots,t_n)\in\mathbb{R}^n$に対して,
\begin{align} m_X(t_1,t_2,\cdots,t_n) = E\big[\exp(t_1X_1+t_2X_2+\cdots +t_nX_n)\big] \end{align}
で定義されます.

積率母関数から積率の導出

確率変数$X$に対して, 積率母関数$m_X(t)$が$t=0$の近傍で存在し,$k$回微分可能なとき,

\begin{align}
E(X^k) = {m_X}^{(k)}(0)
\end{align}

が成り立ちます.ここで${m_X}^{(k)}(t)$は$m_X(t)$の$k$回微分を表します.

従って以下が成り立ちます.

\begin{align}
&E(X) = {m_X}'(0)\Lnl
&V(X) = {m_X}^{\prime\prime}(0) – \big({m_X}'(0)\big)^2
\end{align}

積率母関数の一意性

確率変数$X,Y$に対して積率母関数$m_X(t) , m_Y(t)$が存在し一致しすれば, $X,Y$の分布は同じになります.
これは, 確率分布の一致性の証明などでよく使います.

独立な確率変数の和の積率母関数

確率変数$X_1,X_2,\cdots,X_n$が独立で,各$X_i$の積率母関数を$m_{i}(t)$とするならば,その和$S=X_1+X_2+\cdots+X_n$の積率母関数$m_S(t)$は

\begin{align}
m_S(t) = m_{1}(t) m_{2}(t) \cdots m_{n}(t)
\end{align}

となる.