はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.4.4
与えらえた確率分布の期待値$\mu$は,
\begin{align}
&\mu = \int_0^1 x\cdot \theta x^{\theta-1} \delt x = \frac{\theta}{\theta + 1}\lnl
\Longleftrightarrow& \theta = \frac{\mu}{1-\mu}
\end{align}
&\mu = \int_0^1 x\cdot \theta x^{\theta-1} \delt x = \frac{\theta}{\theta + 1}\lnl
\Longleftrightarrow& \theta = \frac{\mu}{1-\mu}
\end{align}
であるので,$\theta$のモーメント法推定量$\hat{\theta}$は,
\begin{align}
\hat{ \theta} = \frac{M_1}{1-M_1} = \frac{\overline{X}}{1-\overline{X}}
\end{align}
\hat{ \theta} = \frac{M_1}{1-M_1} = \frac{\overline{X}}{1-\overline{X}}
\end{align}
となり示された.