ex6.4.4 与えられた分布のパラメータのモーメント法推定量

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.4.4

与えらえた確率分布の期待値$\mu$は,

\begin{align}
&\mu = \int_0^1 x\cdot \theta x^{\theta-1} \delt x = \frac{\theta}{\theta + 1}\lnl
\Longleftrightarrow& \theta = \frac{\mu}{1-\mu}
\end{align}

であるので,$\theta$のモーメント法推定量$\hat{\theta}$は,
\begin{align}
\hat{ \theta} = \frac{M_1}{1-M_1} = \frac{\overline{X}}{1-\overline{X}}
\end{align}

となり示された.