ex4.B.2 コーシー分布の標本平均がコーシー分布に従うことの証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.B.2

パラメータ$1,0$のコーシー分布の特性関数$\phi_X(t)$は,

\begin{align}
\phi_X(t) = E(e^{itX}) = \exp(-|t|)
\end{align}

である.従って標本平均の特性関数$\phi_{\overline{X}}(t)$は,
\begin{align}
\phi_{\overline{X}}(t) &= E\big(e^{it\overline{X}}\big)\\
&=E\big(e^{it(X_1+X_2+\cdots +X_n)/n}\big)\\
&=E\big(e^{itX_1/n}\big)E\big(e^{itX_2/n}\big)\cdots E\big(e^{itX_n/n}\big)\\
&=\phi_X\left(\frac{t}{n}\right)\phi_X\left(\frac{t}{n}\right)\cdots \phi_X\left(\frac{t}{n}\right)\lnl
&=\exp\left(-\left|\frac{t}{n}\right|\right)^n\lnl
&=\exp(-|t|)\\
&=\phi_X(t)
\end{align}

よって,$\overline{X}$はパラメータ$1,0$のコーシー分布に従う.