1.4.2.初等関数の微分

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

定数関数

任意の実数$c$を定数とし,$f(x) = c$に対して,

\begin{align}
f'(x) = 0
\end{align}

冪関数

実数$r$に対して, $f(x) = x^r$で定義される冪関数の導関数は,

\begin{align}
f'(x) = r x^{r-1}
\end{align}

となる.

指数関数

実数$a$に対して, $f(x) = a^x$で定義される指数関数の導関数は,

\begin{align}
f'(x) = a^x \log a
\end{align}

となる.なお,対数はネイピア数$e$を低とする自然対数である.

また,$a = e$のとき,

\begin{align}
f'(x) = e^x = f(x)
\end{align}

となり,関数と導関数が等しくなる.

対数関数

$1$でない正の実数$a$に対し,$f(x) = \log_a x$で定義される対数関数の導関数は,

\begin{align}
f'(x) = \frac{\log_a e}{x}
\end{align}

となる.なお$e$はネイピア数である.

また,$a=e$のとき,

\begin{align}
f'(x) = \frac{1}{x}
\end{align}

となる.

三角関数

$f(x) = \sin x , g(x) = \cos x , h(x) = \tan x$に対して,

\begin{align}
&f'(x) = \cos x\lnl
&g'(x) = -\sin x\lnl
&h'(x) = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
\end{align}

となる.