ex6.3.1 指数分布のパラメータの逆数とメジアンの最尤推定量(MLE)

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.3.1

パラメータ$\beta$の指数分布の確率密度関数$f_X(x)$は,$x > 0$で

\begin{align}
f_X(x) &= \beta \exp(-\beta x)
\end{align}

である.尤度関数は
\begin{align}
L(\beta; \bm{x}) &= \prod_{i=1}^n\Big(\beta \exp(-\beta x_i) \Big)\lnl
&= \beta^n \exp(-n\beta \overline{x})
\end{align}

である.ただし$\overline{x}= \displaystyle \frac{1}{n}\ssum_{i=1}^n x_i$とする.
尤度方程式
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial \beta} \log L(\beta;\bm{x}) = 0\label{eq-le1}
\end{align}

を解く.
\begin{align}
&\log L(\beta;\bm{x}) = n\log \beta – n\beta \overline{x}\Lnl
&\frac{\partial}{\partial \beta} \log L(\beta;\bm{x}) = \frac{n}{\beta} – n\overline{x}
\end{align}

であるから,$\eqref{eq-le1}$の解は,$\beta = \cfrac{1}{\overline{x}}$となる.これが尤度関数を最大化することを確かめるために増減表を書く.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\beta & \cdots & \cfrac{1}{\overline{x}} & \cdots \\
\hline
\frac{\partial}{\partial \beta}\log L(\beta;\bm{x}) & + & 0 & – \\
\hline
L(\beta;\bm{x}) & \nearrow & \text{最大} & \searrow \\
\hline
\end{array} $

以上より$\beta$の最尤推定量$\hat{\beta}$は$\cfrac{1}{\overline{X}}$である.

この指数分布のメジアンを$m$とする.

\begin{align}
&\int_0^m \beta e^{-\beta x}\delt x = \frac{1}{2}\lnl
\Longleftrightarrow &1-e^{-\beta m} = \frac{1}{2}\lnl
\Longleftrightarrow &m = \frac{\log 2}{\beta}
\end{align}

である.テキスト(6.3.3)のNOTE(3)より,$m$の最尤推定量$\hat{m}$は

\begin{align}
\hat{m}= \frac{\log 2}{\hat{\beta}}
\end{align}

であるから,
\begin{align}
\hat{m} &= \frac{\log 2}{\hat{\beta}}\lnl
&= \overline{X}\log 2
\end{align}

となり示された.