ex3.12.6

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.12.6

$X$:幾何の点数が従う確率分布
$Y$:代数の点数が従う確率分布
とする。

\begin{align}
X \sim N(70,10^2)\\
Y \sim N(85,15^2)
\end{align}

である。
以下、$Z$を標準正規分布に従う確率変数とする。

(i)

$X=75$が与えられたときの$Y$の条件付き確率$(Y|X=75)$は、(3.12.5)より、

\begin{align}
(Y|X=75) \sim N(85+0.8(15/10)(75-70) , (1-0.8^2)15^2) = N(91,9^2)
\end{align}

であるので、
\begin{align}
P(Y\ge 90|X=75) &=P\left(Z \ge \frac{90-91}{9}\right)\\
&\fallingdotseq P(\ge -0.11)\\
&\fallingdotseq 0.543795
\end{align}

(ii)

$X+Y$は、(ex3.12.5)より、

\begin{align}
N(\mu_X + \mu_Y , \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\rho \sigma_X \sigma_Y) = N(155,565)
\end{align}

に従う。
よって、
\begin{align}
P(X+Y \ge 170) &= P\left(Z \ge \frac{170-155}{\sqrt{565}}\right)\\
&\fallingdotseq P(Z \ge 0.63)\\
&\fallingdotseq 0.264347
\end{align}

(iii)

$Y-X$は、(ex3.12.5)より、

\begin{align}
N(\mu_Y – \mu_X , \sigma_Y^2 + \sigma_X^2 – 2\rho \sigma_X \sigma_Y) = N(15,85)
\end{align}

に従う。
よって、
\begin{align}
P(Y > X) &= P(Y-X > 0)\\
&= \left(Z > \frac{0-15}{\sqrt{85}}\right)\\
&\fallingdotseq P(Z > -1.63)\\
&\fallingdotseq 0.948449
\end{align}