ex1.3.1 一般乗法定理の証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.3.1

数学的帰納法で示す。
$n=2$のとき、(1.3.2)の乗法定理から

\begin{align}
P(A_1 \cap A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1)
\end{align}

$n=k$のとき、成り立つと仮定する。すなわち、

\begin{align}
&P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k) \\
\qquad&= P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P(A_k|A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_{k-1})
\end{align}

$n=k+1$のとき、

\begin{align}
&P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{k+1}) \\
\qquad&=P( (A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k) \cap A_{k+1}) \\
\qquad&=P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k) \cdot P(A_{k+1}|A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_{k}) \qquad \because (1)\\
\qquad&=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P(A_k|A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_{k-1})\\
&\qquad\quad\cdot P(A_{k+1}|A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_{k})
\end{align}

これは$n=k+1$のときも成立していることを表す。
よって示された。