はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.A.3
男の通勤時間の本当の平均を$\mu_1$ , 女のそれを $\mu_2$とする.
帰無仮説$H_0: \mu_1 = \mu_2 $ , 対立仮説$H_1: \mu_1 \neq \mu_2$とする検定を行う.
両標本の分散が等しいと仮定した場合と, 異なると仮定した場合のそれぞれの検定を行う.(テキストの答えは等しいと仮定している)
また, 男の標本数を$n = 20$, 標本平均を$\overline{X} = 63.5$, 不偏標本分散を${U_1}^2 = 7500/(n-1) \fallingdotseq 394.74$と表記する.女の場合もそれぞれ同様に$m=25, \overline{Y}= 56.3, {U_2}^2 = 1536/(m-1) = 64$とする.
分散が等しいと仮定した場合
テキスト(7.4.4)(ii)(c)より,
\begin{align}
T_1 = \left| \frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_p\sqrt{\cfrac{1}{n} + \cfrac{1}{m}}}\right| > t_{n+m-2,\frac{\alpha}{2}}
\end{align}
T_1 = \left| \frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_p\sqrt{\cfrac{1}{n} + \cfrac{1}{m}}}\right| > t_{n+m-2,\frac{\alpha}{2}}
\end{align}
とのとき帰無仮説$H_0$は棄却となる.ただし, $\alpha$は検定水準であり, $S_p$は,
\begin{align}
{S_p}^2 = \frac{7500+1536}{20+25-2} \fallingdotseq 210.14
\end{align}
{S_p}^2 = \frac{7500+1536}{20+25-2} \fallingdotseq 210.14
\end{align}
の正の平方根とする.このとき,
\begin{align}
T_1 = \left| \frac{63.5-56.3}{\sqrt{210.14}\sqrt{\cfrac{1}{20} + \cfrac{1}{25}}}\right| \fallingdotseq 1.656
\end{align}
T_1 = \left| \frac{63.5-56.3}{\sqrt{210.14}\sqrt{\cfrac{1}{20} + \cfrac{1}{25}}}\right| \fallingdotseq 1.656
\end{align}
となる.統計表より
\begin{align}
t_{45,0.1} < t_{43,0.1} < t_{40,0.1} \Longrightarrow 1.301 < t_{43,0.1} < 1.303\\ t_{45,0.05} < t_{43,0.05} < t_{40,0.05} \Longrightarrow 1.679 < t_{43,0.05} < 1.684 \end{align}
であることから, 有意確率$p$は,
t_{45,0.1} < t_{43,0.1} < t_{40,0.1} \Longrightarrow 1.301 < t_{43,0.1} < 1.303\\ t_{45,0.05} < t_{43,0.05} < t_{40,0.05} \Longrightarrow 1.679 < t_{43,0.05} < 1.684 \end{align}
\begin{align}
2\cdot 0.05 < p < 2\cdot 0.1 \Longrightarrow 0.1 < p < 0.2
\end{align}
となる.
分散が異なると仮定した場合
テキスト(7.4.4)(iii)(c)より,
\begin{align}
T_2 = \left| \frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\cfrac{{U_1}^2}{n} + \cfrac{{U_2}^2}{m}}}\right| > t_{v,\frac{\alpha}{2}}
\end{align}
T_2 = \left| \frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\cfrac{{U_1}^2}{n} + \cfrac{{U_2}^2}{m}}}\right| > t_{v,\frac{\alpha}{2}}
\end{align}
とのとき帰無仮説$H_0$は棄却となる.ただし, $\alpha$は検定水準であり, $v$は,
\begin{align}
v = \frac{\left(\cfrac{{U_1}^2}{n} + \cfrac{{U_2}^2}{m}\right)^2}{\cfrac{{U_1}^4}{n^2(n-1)}+\cfrac{{U_2}^4}{m^2(m-1)}} \fallingdotseq 23.9 \fallingdotseq 24
\end{align}
v = \frac{\left(\cfrac{{U_1}^2}{n} + \cfrac{{U_2}^2}{m}\right)^2}{\cfrac{{U_1}^4}{n^2(n-1)}+\cfrac{{U_2}^4}{m^2(m-1)}} \fallingdotseq 23.9 \fallingdotseq 24
\end{align}
である.
\begin{align}
T_2 = \left| \frac{63.5-56.3}{\sqrt{\cfrac{394.74}{20} + \cfrac{64}{25}}}\right| \fallingdotseq 1.525
\end{align}
T_2 = \left| \frac{63.5-56.3}{\sqrt{\cfrac{394.74}{20} + \cfrac{64}{25}}}\right| \fallingdotseq 1.525
\end{align}
となる.統計表より
\begin{align}
t_{24,0.1} = 1.318 , t_{24,0.05} = 1.711
\end{align}
t_{24,0.1} = 1.318 , t_{24,0.05} = 1.711
\end{align}
であることから, 有意確率$p$は,
\begin{align}
2\cdot 0.05 < p < 2\cdot 0.1 \Longrightarrow 0.1 < p < 0.2 \end{align}
となる.
2\cdot 0.05 < p < 2\cdot 0.1 \Longrightarrow 0.1 < p < 0.2 \end{align}
分散の仮定について補足
分散が等しいと仮定した場合と, 異なると仮定した場合で有意確率は大体同じになりました.明解演習数理統計のp141によれば「本当は分散が異なるのに等しいと仮定して検定作業を続行しても標本数が近いときはほとんど不都合が生じないことが知られている(検定の頑健性・強靭性)」ということらしいです。(引用した文言は意味が通じるように少し修正してあります)