ex1.B.6 スーパーセット・サブセットに関する事象列の確率の極限

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.B.6

(a)
$P(A_n)$は単調増加で上に有界(確率なので上限は1)であるため、極値の存在は保障される。
$B_1 = A_1 , B_n = A_n – A_{n-1} (n\ge 2)$とする。
このとき、$B_1,B_2,\cdots,B_n,\cdots$は互いに素。

\begin{align}
P(A) &= P\left(\bigcup_i A_i\right)\\
&=P\left(\bigcup_i B_i \right) \\
&=\sum_i P(B_i) \\
&= \sum_i P(A_i – A_{i-1}) \qquad(See below) \\
&= \sum_i (P(A_i) – P(A_{i-1}) ) \\
&= \lim_{n\rightarrow \infty} P(A_n)
\end{align}

※上記で$A_0$が出現した場合は$A_0 = \phi$と定義する。
以上より示された。

(b)
$P(A_n)$は単調減少で下に有界(確率なので下限は0)であるため、極値の存在は保障される。
$B_n = A_{1} – A_{n}$とする。
$B_1 \subset B_2 \subset \cdots $である。

\begin{align}
P\left(\bigcup_i B_i\right) &= \lim_{n\rightarrow \infty} P(B_n) (\because (a))\\
&= \lim_{n\rightarrow \infty} P(A_1 – A_n)\\
&= \lim_{n\rightarrow \infty} ( P(A_1) – P(A_n) )\\
&= P(A_1) – \lim_{n\rightarrow \infty} P(A_n) \tag{A}
\end{align}

ところで、
$B_i = A_1-A_i = A_1 \cap A_i^c$であるから、

\begin{align}
\bigcup_i B_i &= \bigcup_i \left(A_1 \cap A_i^c\right) \\
&= A_1\cap\left(\bigcup_i A_i^c\right)\\
& = A_1 – \bigcap_i A_i
\end{align}

よって、

\begin{align}
P\left(\bigcup_i B_i\right) & = P\left(A_1 – \bigcap_i A_i\right) \\
&= P(A_1) – P\left(\bigcap_i A_i\right) \\
&= P(A_1) – P(A) \tag{B}
\end{align}

(A)と(B)から、

\begin{align}
\lim_{n\rightarrow \infty} P(A_n) = P(A)
\end{align}

が成立。