はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.2.5
確率関数であるためには次を満たす必要がある。
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty f_X(x) \delt x = 1
\end{align}
\int_{-\infty}^\infty f_X(x) \delt x = 1
\end{align}
具体的に計算すると、
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty f_X(x) \delt x &= \int_0^2 cx^2 \delt x\lnl
&= \frac{8}{3}c
\end{align}
\int_{-\infty}^\infty f_X(x) \delt x &= \int_0^2 cx^2 \delt x\lnl
&= \frac{8}{3}c
\end{align}
これが$1$に等しいから、$ c=\cfrac{3}{8}$となる。
\begin{align}
P(X < 0.5) &= \int_0^{0.5} \frac{3}{8} x^2 \delt x \lnl &=\frac{1}{8}(0.5)^3\lnl &= \frac{1}{64}\Lnl P(0.5 \le x \le 1) &= \int_{0.5}^{1} \frac{3}{8} x^2 \delt x \lnl &= \frac{1}{8}(1)^3 - \frac{1}{8}(0.5)^3\lnl &= \frac{7}{64}\Lnl P(0.5 \le x \le 1 | X > 0.5) &= \frac{P(0.5 \le X \le 1)}{P(X > 0.5)} \lnl
&= \frac{7}{64}\frac{64}{63}\lnl
&= \frac{1}{9}
\end{align}
P(X < 0.5) &= \int_0^{0.5} \frac{3}{8} x^2 \delt x \lnl &=\frac{1}{8}(0.5)^3\lnl &= \frac{1}{64}\Lnl P(0.5 \le x \le 1) &= \int_{0.5}^{1} \frac{3}{8} x^2 \delt x \lnl &= \frac{1}{8}(1)^3 - \frac{1}{8}(0.5)^3\lnl &= \frac{7}{64}\Lnl P(0.5 \le x \le 1 | X > 0.5) &= \frac{P(0.5 \le X \le 1)}{P(X > 0.5)} \lnl
&= \frac{7}{64}\frac{64}{63}\lnl
&= \frac{1}{9}
\end{align}