ex7.5.9 独立性の検定(その3)

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.5.9

カイ二乗検定

帰無仮説$H_0$:「各都市の成績分布は等しい」に対する検定を行う.$H_0$が正しい場合の成績A,B,C,Dの各期待確率$p_A,p_B,p_C,p_D$は,

\begin{align}
&p_A = \frac{60+48+55}{200+200+200} \fallingdotseq 0.271\dot{6}\lnl
&p_B = \frac{50+52+55}{200+200+200} \fallingdotseq 0.261\dot{6}\lnl
&p_C = \frac{70+62+64}{200+200+200} \fallingdotseq 0.32\dot{6}\lnl
&p_D = \frac{20+38+26}{200+200+200} \fallingdotseq 0.14
\end{align}

である.期待度数は「期待確率×各都市の合計人数($200$)」であるから,期待度数を表にすると,

$
\begin{array}{|c||*{4}{c|}|c|} \hline
\text{}&\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{計} \\\hline
\text{都市I}&54.33&52.33&65.33&28&200 \\\hline
\text{都市II}&54.33&52.33&65.33&28&200 \\\hline
\text{都市III}&54.33&52.33&65.33&28&200 \\\hline
\text{計}&163&157&196&84&600 \\\hline
\end{array}
$

となる.

従って,$Q(\bm{X})$は,

\begin{align}
Q(&\bm{X}) \lnl
&= \frac{(60-54.33)^2+(48-54.33)^2+(55-54.33)^2}{54.33} \\
&\quad+ \frac{(50-52.33)^2+(52-52.33)^2+(55-52.33)^2}{52.33} \\
&\quad+ \frac{(70-65.33)^2+(62-65.33)^2+(64-65.33)^2}{65.33} \\
&\quad+ \frac{(20-28)^2+(38-28)^2+(26-28)^2}{28} \\
&\fallingdotseq 8.11
\end{align}

となる.

$Q(\bm{X})$が従うカイ二乗分布の自由度は,$(4-1)(3-1) = 6$である. 統計表より

\begin{align}
&\chi^2_{6,0.3} = 7.2311\\
&\chi^2_{6,0.2} = 8.5581
\end{align}

であるから,有意確率$p$は
\begin{align}
0.2 < p < 0.3 \end{align}
である.

尤度比検定

テキスト(7.5.2)より

\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) &= 2\left(60 \log\frac{60}{54.33} + 50 \log\frac{50}{52.33} + \cdots + 26\log\frac{26}{28}\right)\lnl
&= 8.07
\end{align}

が帰無仮説のもとで漸近的に自由度$(4-1)(3-1) = 6$のカイ二乗分布に従うことを用いる.
尤度比検定を用いた場合の有意確率$p$は,
\begin{align}
0.2 < p < 0.3 \end{align}
である.