ex1.4.8 独立な事象の補事象の独立性

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.4.8

$A^c ,B^c , C^c $が独立であることを示す。(1問目)

\begin{align}
P(A^c\cap B^c \cap C^c) &=1-P(A\cup B\cup C)\\
&=1-(P(A) + P(B) + P(C) – P(A\cap B) – P(B\cap C) – P(C\cap A) + P(A\cap B \cap C) )\\
&=1 – P(A) – P(B) – P(C) + P(A)P(B) + P(B)P(C) + P(C)P(A) – P(A)P(B)P(C)\\
&=(1-P(A) )(1-P(B) )(1-P(C) )\\
&=P(A^c)P(B^c)P(C^c)
\end{align}

よって示された。

$A^c ,B , C $が独立であることを示す。(2問目)
$D= B\cap C$ とおく。

\begin{align}
P(A\cap D) &= P(A\cap (B \cap C)) \\
&= P(A)P(B)P(C) \\
&= P(A)P(B\cap C) \\
&= P(A)P(D)
\end{align}

よって、AとDは独立である。

\begin{align}
P(A^c\cap B\cap C) &=P(A^c \cap D)\\
&=P(D) – P(A\cap D)\\
&=P(D) – P(A)P(D)\\
&=(1-P(A) ) P(D)\\
&=P(A^c)P(B\cap C)\\
&=P(A^c)P(B)P(C)
\end{align}

よって示された。

$A,B^c,C^c$が独立であることを示す。(3問目)
$ A’ = A^c , B’ = B^c , C’ = C^c$とおく。
本問の1問目より$A’ , B’ , C’$は独立である。
また、本問の2問目より$ A’^c,B’ , C’$は独立。
これは$A, B^c , C^c$が独立であることを示している。