ex6.A.3 指数分布に関する最尤推定量(MLE)

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.A.3

与えられたランダム標本を$X_i ,i=1,\cdots,20$とし, 母集団分布に従う確率変数を$X$とする.

(ex6.3.1)より,指数分布のパラメータ$\beta$のMLEは,

\begin{align}
\hat{\beta} =\frac{1}{\overline{X}}
\end{align}

である.与えられたデータから$\overline{X}= 5.1$であるから, $\hat{\beta}=0.196$となる.

指数分布の平均$\mu$は$\cfrac{1}{\beta}$に等しいので,平均の最尤推定量$\hat{\mu}$は

\begin{align}
\hat{\mu} = \frac{1}{\hat{\beta}} = \overline{X}= 5.1
\end{align}

となる.

$p= P(X \le 5)$とすると,指数分布の確率関数から$p = 1-e^{-\beta \cdot 5}$である.従って$p$の最尤推定量$\hat{p}$は,

\begin{align}
\hat{p}= 1-e^{-\hat{\beta}\cdot 5} = 1-e^{-0.196\cdot 5} = 0.625
\end{align}

となる.

テキスト(6.5.11)より, 平均の$95$%近似信頼区間は

\begin{align}
\left[ \overline{X}- z_{0.025}\frac{S_n}{\sqrt{n}} , \overline{X}+ z_{0.025}\frac{S_n}{\sqrt{n}} \right]
\end{align}

である.与えられたデータより,
\begin{align}
{S_n}^2 &= \frac{(1.2-5.1)^2 + (3.4-5.1)^2 + \cdots + (7.7-5.1)^2}{20}\lnl
&= 7.922
\end{align}

であり,$z_{0.025} = 1.96$より求める近似信頼区間は
\begin{align}
[3.866,6.334]
\end{align}

となる.