ex6.5.16 母集団比率の信頼区間の長さを一定未満にするのに必要な標本数

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.5.16

テキスト(6.5.12)より信頼区間の幅$L$は,$p=\hat{p}$を標本比率とすると,

\begin{align}
L = \left(p + z_\frac{\alpha}{2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right) – \left(p – z_\frac{\alpha}{2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right) = 2z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
\end{align}

となる.

$0 \le p \le 1$より,

\begin{align}
p(1-p) \le \frac{1}{4}
\end{align}

であるから,
\begin{align}
L \le \frac{z_\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{n}}
\end{align}

となる.これが$0.04$未満になるための標本数は,

\begin{align}
L \le \frac{z_\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{n}} < 0.04 \Longrightarrow n > 2401
\end{align}

となる.なお,$z_\frac{\alpha}{2}=1.96$を用いた.