ex6.3.9 ガンマ分布のパラメータの最尤推定量(MLE)

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.3.9

確率密度関数は

\begin{align}
f(x;\beta) =\begin{cases} \cfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} & x> 0 \lnl0&\text{その他}\end{cases}
\end{align}

尤度関数は
\begin{align}
L(\beta;\bm{x}) = \cfrac{\beta^{n\alpha}}{\Gamma(\alpha)^n} \left(\prod_{i=1}^n {x_i} \right)^{\alpha-1} e^{-n\beta \overline{x}}
\end{align}

ただし,$\overline{x}= \displaystyle \cfrac{1}{n}\ssum_{i=1}^n x_i$である.対数尤度関数$l$は
\begin{align}
l(\beta;\bm{x}) = n\alpha \log \beta + \log\left(\sprod_{i=1}^n x_i\right)^{\alpha- 1} – \log \Gamma(\alpha)^n – n\beta \overline{x}
\end{align}

$\frac{\partial}{\partial \beta}l = 0$を解く.
\begin{align}
&\frac{\partial}{\partial \beta}l = \frac{n\alpha}{\beta} – n\overline{x} = 0 \lnl
\Longleftrightarrow & \beta = \frac{\alpha}{\overline{x}}
\end{align}

増減表は

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\beta & \cdots & \frac{\alpha}{\overline{x}} & \cdots \\
\hline
\frac{\partial}{\partial \beta}l & + & 0 & – \\
\hline
L & \nearrow & \text{最大} & \searrow \\
\hline
\end{array} $

となるので,$\beta$のMLEは$\cfrac{\alpha}{\overline{X}}$である.