ex4.4.6 正規分布の標本分散とカイ二乗分布の関係

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.4.6

(a)ヤコビアン$J$は,

\begin{align}
J &= \left|\begin{array}{cccc}
\cfrac{\partial x_1}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_1}{\partial y_2} & \cdots & \cfrac{\partial x_1}{\partial y_n} \\
\cfrac{\partial x_2}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_2}{\partial y_2} & \cdots & \cfrac{\partial x_2}{\partial y_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\cfrac{\partial x_n}{\partial y_1} & \cfrac{\partial x_n}{\partial y_2} & \cdots & \cfrac{\partial x_n}{\partial y_n}
\end{array} \right| \lnl
&=\left|\begin{array}{cccc}
n & -1 & \cdots & -1\\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0& \cdots & 1
\end{array} \right| \\
&= n
\end{align}

よって示された.

$f$を$\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$の確率密度関数とし,$f_Y$を$Y_1,Y_2,\cdots Y_n$の同時確率密度関数 , $f_X$を$X_1,X_2,\cdots , X_n$の同時確率密度関数とする.

各$X_i$は独立だから,

\begin{align}
f_X(x_1,x_2,\cdots,x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i)
\end{align}

に注意すると,
\begin{align}
f_Y(&y_1,y_2,\cdots , y_n) \lnl
&= f(ny_1-y_2-\cdots-y_n)f(y_2)\cdots f(y_n) | J |\lnl
&= \frac{n}{(2\pi \sigma^2)^{\frac{n}{2}}}\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^2}\left\{\underline{(ny_1-y_2-\cdots-y_n – \mu)^2 + \sum_{i=2}^n (y_i-\mu)^2} \right\}\right] \label{eq-fy}
\end{align}

ここで,下線部を変形する.
\begin{align}
(t-\alpha)^2 = (t-\beta)^2 – 2(\alpha – \beta)^2t + \alpha^2 – \beta^2
\end{align}

を用いる.($\alpha= \mu, \beta=y_1$として計算する)
\begin{align}
&\text{(下線部)} \lnl
&\quad= (ny_1-y_2-\cdots-y_n-y_1)^2 – 2(\mu – y_1)(ny_1-y_2-\cdots-y_n) + \mu^2 – {y_1}^2 \\
&\quad\qquad + \sum_{i=2}^n\left\{(y_i-y_1)^2 – 2(\mu – y_1)y_i + \mu^2 – {y_1}^2 \right\}\lnl
&\quad=(ny_1-y_2-\cdots-y_n-y_1)^2 + \sum_{i=2}^n(y_i-y_1)^2\\
&\quad\qquad -2(\mu-y_1)ny_1 + n(\mu^2 – {y_1}^2)\lnl
&\quad= (ny_1-y_2-\cdots-y_n-y_1)^2 + \sum_{i=2}^n(y_i-y_1)^2 -n(y_1 – \mu)^2
\end{align}

これを$\eqref{eq-fy}$に代入すれば与式が求まる.

(b)$Y_1 = \overline{X}$より, $Y_1 \sim \mathrm{N}\left(\mu,\cfrac{\sigma^2}{n}\right)$である.

従って,$Y_1$の周辺確率密度関数$f_{Y_1}$は,

\begin{align}
f_{Y_1}(y_1) = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp\left(-\frac{n(y_1-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{align}

となる.従って$Y_1=y_1$のときの$Y_2,Y_3,\cdots , Y_n$の条件付き確率密度関数は,
\begin{align}
f(y_2&,\cdots,y_n| Y_1=y_1) \lnl
&= \frac{f_Y(y_1,y_2,\cdots,y_n)}{f_{Y_1}(y_1)}\lnl
&= \frac{n^\frac{1}{2}}{(2\pi \sigma^2)^\frac{n-1}{2}}\exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2} \left\{ (ny_1-y_2-\cdots -y_n-y_1)^2 + \sum_{i=2}^n (y_i-y_1)^2 \right\} \right]
\end{align}

となり示された.

(c)

\begin{align}
Q &= \sum_{i=1}^n (X_i – \overline{X})^2\lnl
&= (X_1 – \overline{X})^2 + \sum_{i=2}^n (X_i – \overline{X})^2\lnl
&= (nY_1 – Y_2 – \cdots -Y_n – \overline{X})^2 + \sum_{i=2}^n (Y_i – \overline{X})^2\lnl
&= (nY_1 – Y_2 – \cdots -Y_n – Y_1)^2 + \sum_{i=2}^n (Y_i – Y_1)^2
\end{align}

最後の等式は$Y_1 = \overline{X}$による.

$Y_1 = y_1$が与えられているときの$Q/\sigma^2$の条件付き積率母関数は,

\begin{align}
E\left[e^\frac{tQ}{\sigma^2}\middle| Y_1=y_1\right] = \int_D e^\frac{tQ}{\sigma^2}\cdot f(y_2,y_3\cdots,y_n|Y_1=y_1) \delt \bm{y}
\end{align}

ここで$D$は全ての$(y_2,\cdots,y_n)$の領域であり,$\bm{y}$は$(y_2,\cdots,y_n)$から成るベクトルとする.
これを計算する.$R=ny_1-y_2-\cdots-y_n-y_1$とおく,
\begin{align}
E&\left[e^\frac{tQ}{\sigma^2} \middle| Y_1=y_1\right] \lnl
&=\int_D \frac{n^\frac{1}{2}}{(2\pi \sigma^2)^\frac{n-1}{2}}\exp\left[-\frac{1-2t}{2\sigma^2} \left\{ R^2 + \sum_{i=2}^n (y_i-y_1)^2 \right\} \right] \delt \bm{y} \lnl
&\left({\sigma_0}^2 = \frac{\sigma^2}{1-2t}\text{とおくと,}\right)\lnl
&=(1-2t)^{-\frac{n-1}{2}} \int_D \frac{n^\frac{1}{2}}{(2\pi {\sigma_0}^2)^\frac{n-1}{2}}\exp\left[-\frac{1}{2{\sigma_0}^2} \left\{ R^2 + \sum_{i=2}^n (y_i-y_1)^2 \right\} \right] \delt \bm{y}\lnl
\end{align}

ここで積分部分は${\sigma_0}^2 > 0$つまり$t < \cfrac{1}{2}$であれば$1$となる.なぜならばこれは$X_i$の分散$\sigma^2$が${\sigma_0}^2$となったときの,$Y_1=y_1$が与えられたときの$Y_2,\cdots,Y_n$の周辺確率の全確率ととなるからである. 従って,
\begin{align} E&\left[e^\frac{tQ}{\sigma^2} \middle| Y_1=y_1\right] = (1-2t)^{-\frac{n-1}{2}} \end{align}
となる.

(d)

(c)で求めた条件付き積率母関数は$y_1$によらないため,$Y_1=\overline{X}$と$\cfrac{Q}{\sigma^2}=\cfrac{nS^2}{\sigma^2}$は独立である.

またこの積率母関数は自由度$n-1$の$\chi^2$分布の積率母関数と等しいため,$\cfrac{nS^2}{\sigma^2}$は自由度$n-1$の$\chi^2$分布に従う.