ex6.5.4 平均既知の2つの独立な正規母集団の分散の比についての信頼区間

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.5.4

テキスト(4.4.3)より,

\begin{align}
\frac{1}{{\sigma_1}^2}\sum_{i=1}^n\left(X_i – \mu_1\right)^2 \sim {\chi^2}_n\lnl
\frac{1}{{\sigma_2}^2}\sum_{i=1}^m\left(Y_i – \mu_2\right)^2 \sim {\chi^2}_m
\end{align}

であり互いに独立である.ここで${\chi^2}_n$は自由度$n$のカイ二乗分布を表す.
$A$を
\begin{align}
A = \frac{ \displaystyle \cfrac{1}{n{\sigma_1}^2}\sum_{i=1}^n\left(X_i – \mu_1\right)^2}{\displaystyle \cfrac{1}{m{\sigma_2}^2}\sum_{i=1}^m\left(Y_i – \mu_2\right)^2}
\end{align}

とおくと,$F$分布の定義により$A$は自由度$(n,m)$の$F$分布に従う.
従って,$L,U$を
\begin{align}
L = \frac{\displaystyle n \sum_{i=1}^m\left(Y_i – \mu_2\right)^2}{\displaystyle m \sum_{i=1}^n\left(X_i – \mu_1\right)^2} F_{n,m,1-\frac{\alpha}{2}}\lnl
U = \frac{\displaystyle n \sum_{i=1}^m\left(Y_i – \mu_2\right)^2}{\displaystyle m \sum_{i=1}^n\left(X_i – \mu_1\right)^2} F_{n,m,\frac{\alpha}{2}}
\end{align}

とした際に,
\begin{align}
P\left(U\le \frac{{\sigma_2}^2}{{\sigma_1}^2} \le L\right) = P(F_{n,m,1-\frac{\alpha}{2}} \le A \le F_{n,m,\frac{\alpha}{2}}) = 1-\alpha
\end{align}

であるので,示された.