1.3.4.集合の元の個数

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ここでは集合の元の個数を考えてみます.
集合$A$の元の個数を$n(A)$と表します.他の表記法として$|A| , \#(A)$などで表すこともあります.

なお,集合の中には元の個数が無限となるものもあります. 本ページで扱う集合は全て有限個の元を持つものとします.

元の個数の性質

当然といえば当然ですが,次の性質を持ちます.
ここで全体集合を$\Omega$ , 空集合を$\phi$ ,$A,B$を集合とし, $A \subseteq B \subseteq \Omega$ を満たすとします.このとき,次が成り立ちます.

\begin{align}
&n(\phi) = 0\\
&0 \le n(A) \le n(B) \le n(\Omega)
\end{align}

互いに素な2集合の元の個数

$A, B$が互いに素とします.つまり$A \cap B = \phi$です.
このとき,

\begin{align}
n(A \cup B ) = n(A) + n(B)
\end{align}

となります.これはベン図を見ると一目瞭然ですね.

互いに素ということは重なる部分がないので元の個数は単純な和となります.

和集合の元の個数

今度は互いに素ではない場合の$A \cup B$の元の個数を考えてみましょう.
次のベン図を見てください.

上のベン図を領域ごとに切り離したのが下のベン図です.
これを見ると,

\begin{align}
A\cup B = \big(A-(A\cap B)\big) \cup \big(A\cap B\big) \cup \big(B-(A\cap B)\big)
\end{align}

となっていることがわかると思います.また明らかに$3$つの要素は互いに素ですので,
\begin{align}
n(A\cup B) = n\big(A-(A\cap B)\big) +n\big(A\cap B\big) +n\big(B-(A\cap B)\big) \label{eq-3cup}
\end{align}

が成り立ちます.

$n\big(A-A(\cap B)\big)$がどういう値になるか考えてみましょう.

上のベン図から明らかなように

\begin{align}
A = \big(A-(A\cap B)\big) \cup \big(A\cap B\big)
\end{align}

が成り立ち, 右辺の2つの集合は互いに素なので,
\begin{align}
&n(A) = n\big(A-(A\cap B)\big) + n\big(A\cap B\big)\\
\Longrightarrow & n\big(A-(A\cap B)\big) = n(A) – n\big(A\cap B\big) \label{eq-a}
\end{align}

となります.まったく同様の議論で ,
\begin{align}
n\big(B-(A\cap B)\big) = n(B) – n\big(A\cap B\big) \label{eq-b}
\end{align}

も成り立ちますので,$\eqref{eq-3cup}$に$\eqref{eq-a}, \eqref{eq-b}$を代入して,
\begin{align}
n(A\cup B) = n(A) + n(B) – n(A\cap B)
\end{align}

となります.

積集合の元の個数

あまり使い道はないですが,積集合も和集合と同様の式が成り立ちます.

\begin{align}
P(A \cap B ) = P(A) + P(B) – P(A \cup B)
\end{align}

補集合の元の数

集合$A$の補集合$A^\mathrm{c}$の要素の数は,

\begin{align}
n(A^\mathrm{c}) = n(\Omega) – n(A)
\end{align}

となります.これは$A$と$A^\mathrm{c}$が互いに素であり,$A\cup A^\mathrm{c} = \Omega$であることから簡単に導けます.

ド・モルガンの法則と元の個数

ド・モルガンの法則とは

\begin{align}
(A\cup B)^\mathrm{c} = A^\mathrm{c} \cap B^\mathrm{c} \label{eq1}\\
(A\cap B)^\mathrm{c} = A^\mathrm{c} \cup B^\mathrm{c} \label{eq2}
\end{align}

がいかなる集合$A,B$に対しても成り立つというものでした.(詳しくはこちら)
これと元の個数を考えてみます.$\eqref{eq2}$から,
\begin{align}
n\big((A\cap B)^\mathrm{c}\big) = n(A^\mathrm{c} \cup B^\mathrm{c} ) = n(A^\mathrm{c} ) + n(B^\mathrm{c} ) – n(A^\mathrm{c} \cap B^\mathrm{c} )
\end{align}

となります.これと補集合の元の数を合わせて,
\begin{align}
n\big(A\cap B) = n(\Omega) – \{ n(A^\mathrm{c} ) + n(B^\mathrm{c} ) – n(A^\mathrm{c} \cap B^\mathrm{c} )\}
\end{align}

が成り立ちます.例えば$n(A) , n(B)$などを直接求めることよりも$n(A^\mathrm{c}) , n(B^\mathrm{c}) $を求めることのほうが容易な場合に重宝します.