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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.7.3

ある部分が100時間以上動いている確率$ p $は、

\begin{align}
p &= 1-\int_0^{100} (0.01) e^{-0.01x} dx\\
&= \frac{1}{e}
\end{align}

である。
(i)
確率変数Xを二項分布$ B(5,p) $に従うとすると、求める確率は、

\begin{align}
P(X = 3) &= \binom{5}{3} \left(\frac{1}{e}\right)^3 \left(1 – \frac{1}{e}\right)^2\\
&=10\left(\frac{1}{e}\right)^3 \left(1 – \frac{1}{e}\right)^2
\end{align}

(ii)
100時間以上動いている部分が一つもない事象の余事象だから、

\begin{align}
1 – P(X=0) = 1- \left(1-\frac{1}{e}\right)^5
\end{align}

(iii)
5つすべてが動いている事象だから、

\begin{align}
P(X=5) = \left(\frac{1}{e}\right)^5
\end{align}