ex2.7.5 独立な確率変数の合成に関する相関係数

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
$\require{cancel}$

ex2.7.5

$ X $と$ X+Y $の共分散を計算する。

\begin{align}
Cov(X , X+Y) &= E[X(X+Y)] – E(X)E(X+Y)\\
&= E(X^2 ) + \cancel{E(X)E(Y)} -(E(X)^2 + \cancel{E(X)E(Y)})\\
&= V(X)\\
&= 4
\end{align}

従って、相関係数は、

\begin{align}
\rho(X,X+Y) &= \frac{Cov(X,X+Y)}{\sqrt{V(X)} \sqrt{V(X +Y)}} \\
\rho(X,X+Y) &= \frac{Cov(X,X+Y)}{\sqrt{V(X)} \sqrt{V(X) + V(Y)}} &(\because X\text{と}Y\text{は独立}) \\
&= \frac{4}{\sqrt{4}\sqrt{13}}\\
&= \frac{2}{\sqrt{13}}
\end{align}

テキストの解答では$0$と記載されていますが、共分散が$0$ではないのでありえない解答ですね。誤植かと思われます。