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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.7.3

$X+Y$と$X-Y$の共分散が$0$であることを示す。

\begin{align}
&\mathrm{Cov}(X+Y , X- Y) \lnl
&\qquad= E[(X+Y)(X-Y)] – E(X+Y)E(X-Y)\lnl
&\qquad= E\left(X^2 – Y^2\right)- \left(E(X)+E(Y)\right)\left(E(X)-E(Y)\right)\lnl
&\qquad= \Big\{E\left(X^2\right) – E(X)^2\Big\} – \Big\{E\left(Y^2\right) – E(Y)^2\Big\}\lnl
&\qquad= V(X) – V(Y)\lnl
&\qquad= 0 \qquad (\because V(X) = V(Y))
\end{align}

よって$X+Y$と$X-Y$は相関がないことが示された。