ex2.B.1

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.B.1

$ F_3 $が次の分布関数の性質(A)~(C)を満たすことを示す。

(A)非減少
すなわち、$ a < b $ならば$ F_3(a) \le F_3(b) $

(B)$ F_3 $は[0,1]を値域にもち、$ F_3(-\infty) = 0 , F_3(\infty) = 1 $である

(C)右連続
すなわち、全てのxに対して、$ \lim_{t\to +0} F_3(x+t) = F_3(x) $

証明:
(A)非減少
$ a < b $とする。

\begin{align} F_3(a) &= \alpha F_1(a) + (1-\alpha) F_2(a)\\ &\le \alpha F_1(b) + (1-\alpha) F_2(b)\\ &= F_3(b) \end{align}
(B)$ F_3 $は$[0,1]$を値域にもち、$ F_3(-\infty) = 0 , F_3(\infty) = 1 $である
\begin{align} &F_3(-\infty) = \alpha F_1(-\infty) + (1-\alpha) F_2(-\infty) = \alpha \cdot 0 + (1-\alpha)\cdot 0 = 0\\ &F_3(\infty) = \alpha F_1(\infty) + (1-\alpha) F_2(\infty) = \alpha \cdot 1 + (1-\alpha)\cdot 1 = 1 \end{align}
(A)より$ F_3 $は非減少だから、$ 0\le F_3 \le 1 $となる。

(C)右連続

\begin{align}
\lim_{t\rightarrow +0} F_3(x+t) &=\lim_{t\rightarrow +0}(\alpha F_1(x + t) + (1-\alpha) F_2(x+t))\\
&= \alpha F_1(x) + (1-\alpha)F_2(x)\\
&= F_3(x)
\end{align}

よって示された。