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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.3.1

(i)表の背景色が赤の部分の和が求める確率となる。
(a)

\begin{align}P(X > 1,Y \le 3) = 0.53 \end{align}

(b)

\begin{align} P(X > Y) = 0.75 \end{align}

(c)

\begin{align} P(X=1 , Y<1) = 0.22 \end{align}
(d)
\begin{align} P(X=1, Y=0) = 0.1 \end{align}

(e)

\begin{align} P(X=0, Y=0) = 0\end{align}

(f)

\begin{align} P(X=3) = 0.31 \end{align}

(ii)表の背景色がオレンジの部分が$X$の周辺確率関数、緑の部分が$Y$の周辺確率関数となる。

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} 0.4 & (x=1)\\
0.29 & (x = 2 )\\
0.31 & (x = 3) \\
0 & (\text{other}) \end{cases}
\end{align}

\begin{align}
f_Y(y) = \begin{cases} 0.3 & (y=-1,0)\\
0.25 & (y =1 )\\
0.15 & (y = 4) \\
0 & (\text{other}) \end{cases}
\end{align}

(iii)
$f_{X,Y}(x_1 , y_1) \not = f_X(x_1) \times f_Y(y_1 )$となる$ x_1, y_1$の実例を挙げればよい。

\begin{align}
f_{X,Y}(2,-1) = 0.1 \not = 0.29\times 0.3 = f_X(2) \times f_Y(-1)
\end{align}

よってXとYは独立ではない。

(iv)

\begin{align}
P(X=x | Y= 0) &= \frac{P(X=x , Y=0) }{P(Y = 0)}
\end{align}

従って、

\begin{align}
f_{X|Y=0} (x) = \begin{cases} \cfrac{1}{3} & (x =1,2,3)\lnl
0 & (\text{other}) \end{cases}
\end{align}

また、

\begin{align}
P(X \le 2 | Y=0 ) = f_{X|Y=0}(1) + f_{X|Y=0}(2) = \frac{2}{3}
\end{align}