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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.6.7

題意から、男子の点数が従う確率分布を$ X_i\sim N(60,100) $とし、女子のそれを$ Y_j \sim N(70,36) $とおく。
各$ i_1 , i_2 $に対して$ X_{i_1} $と$ X_{i_2} $は独立である。$ Y_j $も$j$に対して同様。
(i)
$ X_1 $と$ Y_1 $について以下が成り立つ、

\begin{align}
X_1-Y_1 \sim (-10 , 136)
\end{align}

求める確率は、

\begin{align}
P( X_1- Y_1 > 0) &= P\left(\frac{X_1-Y_1 + 10}{\sqrt{136} } > \frac{10}{\sqrt{136} } \right)\lnl
&= 1 – P(Z \le 0.8575)\lnl
&= 0.194895
\end{align}

ただし、$Z$は標準正規分布に従う確率変数。

(ii)
以下が成り立つ、

\begin{align}
\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3} &\sim N\left( 60 , \frac{300}{9} \right) \lnl
\frac{Y_1 + Y_2}{2} &\sim N\left( 70 , \frac{72}{4} \right)
\end{align}

また、

\begin{align}
S =\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3} – \frac{Y_1 + Y_2}{2}
\end{align}

とすると、$ S \sim N\left(-10 , \cfrac{154}{3} \right) $である。
求める確率は、

\begin{align}
P(S < 0 ) &= P\left(\frac{S+10} { \sqrt{\frac{154}{3} } } < \frac{10} { \sqrt{\frac{154}{3} } } \right)\lnl &\fallingdotseq P(Z < 1.3957)\lnl &\fallingdotseq 0.9186 \end{align}
なお、最後の近似は以下の線形補間による。
\begin{align} P(Z < 1.3957) &\fallingdotseq P(Z < 1.39) + \frac{57}{100}\{ P(Z < 1.40) - P(Z < 1.39) \} \lnl &\fallingdotseq 0.91859499\lnl &\fallingdotseq 0.9186 \end{align}
(iii) 以下を満たす$a$を求めればよい。
\begin{align} P(X_1 > a ) = 0.1
\end{align}

正規化して、

\begin{align}
P\left(\frac{X_1 – 60}{10} > \frac{a-60}{10} \right) = 0.1
\end{align}

正規分布表から、

\begin{align}
\frac{a-60}{10} = 1.28
\end{align}

従って、$ a = 72.8 $点以上を取ればよい。