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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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(i)
(a)

\begin{align}
P(0 < X \le 0.2 , 0.5 < Y < 0.8 ) &= \int_0^{0.2} \int_{0.5}^{0.8} 4xy \delt y \delt x\lnl &= \int_0^{0.2} 4x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0.5}^{0.8} \delt x\lnl &= 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{0.2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0.5}^{0.8} \lnl &= 0.0156 \end{align}
(b)
\begin{align} P( X \le Y ) &= \int_0^1 \int_0^{y} 4xy \delt y \delt x\lnl &= \int_0^1 y \left[2x^2\right]_0^y \delt y\lnl &= \int_0^1 2y^3 \delt y\lnl &=\frac{1}{2}\left[y^4 \right]_0^1\lnl &=\frac{1}{2} \end{align}
(c)
\begin{align} P(X=Y) &= \iint_{x=y} 4xy \delt x \delt y\lnl &= \int_0^1 \int_y^y 4xy \delt x \delt y \lnl &= 0 \end{align}
(ii) $0 < x < 1$のとき、
\begin{align} f_X(x) &= \int_{0}^1 4xy \delt y\lnl &= 2x \end{align}
$x$がその他のとき、$f_X(x)=0$となる。

(iii)

$0 < y < 1$のとき、

\begin{align} f_Y(y) &= \int_{0}^1 4xy \delt x\lnl &= 2y \end{align}
$y$がその他のとき、$f_X(x)=0$となる。

(iv)

$0 < y < 1$のとき、

\begin{align} f_{Y|X=x}(y) = \frac{f_{XY}(x,y) }{f_X(x)} = 2y \end{align}
その他のとき、$f_{Y|X=x}(y) = 0$となる。

(v)

(iv)の計算で、$ 2y = f_Y(y)$であることから、次のことがわかる。

\begin{align}
f_{XY}(x,y) = f_X(x) \times f_Y(y)
\end{align}

従って$X$と$Y$は独立。