目次
はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
|
間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
スポンサーリンク
$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex4.1.1
ランダム標本の結合確率関数/結合確率密度関数とは
本書では触れられていないので、記事を書きました。
定義や求め方などは、こちらを参照ください。
ランダム標本
この解答では、$\bm{A} = (X_1,X_2,\cdots,X_n)$を問題となっている大きさ$n$のランダム標本とし、$\bm{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$を観測値、$f_X(x)$を母集団分布の確率関数(または確率密度関数)、$f_X(\bm{x})$を結合確率関数(または結合確率密度関数)として問題を解きます。
また、「$\forall i$」と書いてある部分は、「全ての$i = 1,2,\cdots,n$で」を表すものとします。
(i)パラメータ$p$のベルヌーイ分布
母集団の確率関数は、
\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} p^x(1-p)^{1-x} & x=0,1\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}
f_X(x) = \begin{cases} p^x(1-p)^{1-x} & x=0,1\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}
であるので、
\begin{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle p^{x_1+x_2+\cdots+x_n}(1-p)^{n-(x_1+x_2+\cdots+x_n)} &(\forall i , x_i = 0,1)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle p^{x_1+x_2+\cdots+x_n}(1-p)^{n-(x_1+x_2+\cdots+x_n)} &(\forall i , x_i = 0,1)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
となる。
(ii)パラメータ$\lambda$のポアソン分布
母集団の確率関数は、
\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x !} & x=0,1,\cdots\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}
f_X(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x !} & x=0,1,\cdots\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}
であるので、
\begin{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{(x_1+x_2+\cdots+x_n)}}{x_1!x_2!\cdots x_n!} &(\forall i , x_i = 0,1,\cdots)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{(x_1+x_2+\cdots+x_n)}}{x_1!x_2!\cdots x_n!} &(\forall i , x_i = 0,1,\cdots)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
となる。
(iii)パラメータ$p$の幾何分布
母集団の確率関数は、
\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} p(1-p)^{x} & x=0,1,\cdots\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}
f_X(x) = \begin{cases} p(1-p)^{x} & x=0,1,\cdots\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}
であるので、
\begin{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle p^n(1-p)^{x_1+x_2+\cdots+x_n} &(\forall i , x_i = 0,1,\cdots)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle p^n(1-p)^{x_1+x_2+\cdots+x_n} &(\forall i , x_i = 0,1,\cdots)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
となる。
(iv)区間$[a,b]$の一様分布
母集団の確率関数は、
\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & a \le x \le b\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}
f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & a \le x \le b\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}
であるので、
\begin{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle \left(\frac{1}{b-a}\right)^n &(\forall i , a\le x_i \le b)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle \left(\frac{1}{b-a}\right)^n &(\forall i , a\le x_i \le b)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
となる。
(v)パラメータ$\mu,\sigma^2$の正規分布
母集団の確率関数は、
\begin{align}
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{align}
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{align}
であるので、
\begin{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^\frac{n}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i – \mu)\right)
\end{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^\frac{n}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i – \mu)\right)
\end{align}
となる。
(vi)パラメータ$\lambda$の指数分布
母集団の確率関数は、
\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x > 0\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}
f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x > 0\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}
であるので、
\begin{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle \lambda^n e^{-\lambda(x_1+x_2+\cdots+x_n)} &(\forall i , x_i >0)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle \lambda^n e^{-\lambda(x_1+x_2+\cdots+x_n)} &(\forall i , x_i >0)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
となる。