ex4.1.1 ランダム標本の結合確率関数・結合確率密度関数

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.1.1

ランダム標本の結合確率関数/結合確率密度関数とは

本書では触れられていないので、記事を書きました。
定義や求め方などは、こちらを参照ください。
ランダム標本

この解答では、$\bm{A} = (X_1,X_2,\cdots,X_n)$を問題となっている大きさ$n$のランダム標本とし、$\bm{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$を観測値、$f_X(x)$を母集団分布の確率関数(または確率密度関数)、$f_X(\bm{x})$を結合確率関数(または結合確率密度関数)として問題を解きます。
また、「$\forall i$」と書いてある部分は、「全ての$i = 1,2,\cdots,n$で」を表すものとします。

(i)パラメータ$p$のベルヌーイ分布

母集団の確率関数は、

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} p^x(1-p)^{1-x} & x=0,1\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}

であるので、
\begin{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle p^{x_1+x_2+\cdots+x_n}(1-p)^{n-(x_1+x_2+\cdots+x_n)} &(\forall i , x_i = 0,1)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}

となる。

(ii)パラメータ$\lambda$のポアソン分布

母集団の確率関数は、

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x !} & x=0,1,\cdots\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}

であるので、
\begin{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{(x_1+x_2+\cdots+x_n)}}{x_1!x_2!\cdots x_n!} &(\forall i , x_i = 0,1,\cdots)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}

となる。

(iii)パラメータ$p$の幾何分布

母集団の確率関数は、

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} p(1-p)^{x} & x=0,1,\cdots\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}

であるので、
\begin{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle p^n(1-p)^{x_1+x_2+\cdots+x_n} &(\forall i , x_i = 0,1,\cdots)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}

となる。

(iv)区間$[a,b]$の一様分布

母集団の確率関数は、

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & a \le x \le b\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}

であるので、
\begin{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle \left(\frac{1}{b-a}\right)^n &(\forall i , a\le x_i \le b)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}

となる。

(v)パラメータ$\mu,\sigma^2$の正規分布

母集団の確率関数は、

\begin{align}
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{align}

であるので、
\begin{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^\frac{n}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i – \mu)\right)
\end{align}

となる。

(vi)パラメータ$\lambda$の指数分布

母集団の確率関数は、

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x > 0\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}

であるので、
\begin{align}
f_X(\bm{x}) &= \prod_{i=1}^n f_X(x_i)\\
&=\begin{cases}\displaystyle \lambda^n e^{-\lambda(x_1+x_2+\cdots+x_n)} &(\forall i , x_i >0)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}

となる。