はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.2.4
パラメータ$p$のベルヌーイ分布の確率関数は, $x=0,1$で
\begin{align}
f(x;p) = p^x(1-p)^{1-x}
\end{align}
f(x;p) = p^x(1-p)^{1-x}
\end{align}
である.$p_2 > p_1$とすると,
\begin{align}
\frac{\prod_{i=1}^n f(x_i;p_2)}{\prod_{i=1}^n f(x_i;p_1)} &= \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\sum_{i=1}^n x_i} \left(\frac{1-p_2}{1-p_1}\right)^{\sum_{i=1}^n (1-x_i)} \lnl
&= \left(\frac{1-p_2}{1-p_1}\right)^n \left(\frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{1-p_1}{1-p_2}\right)^{\sum_{i=1}^n x_i}
\end{align}
\frac{\prod_{i=1}^n f(x_i;p_2)}{\prod_{i=1}^n f(x_i;p_1)} &= \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\sum_{i=1}^n x_i} \left(\frac{1-p_2}{1-p_1}\right)^{\sum_{i=1}^n (1-x_i)} \lnl
&= \left(\frac{1-p_2}{1-p_1}\right)^n \left(\frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{1-p_1}{1-p_2}\right)^{\sum_{i=1}^n x_i}
\end{align}
となる.これは$T(\bm{x}) =\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i$に関する単調増加, すなわち$T(\bm{x})$に関して単調尤度比をもつ.
よって, 水準$\alpha$のUMP検定は, 次のような検定関数$\varphi$を持つ検定である.
\begin{align}
\varphi(\bm{X}) = \begin{cases}
1&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} > c\lnl
r&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} = c\lnl
0&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} < c\lnl \end{cases} \end{align}
ただし, 自然数$c (c=0,1,\cdots,n)$と実数$r (0 \le r \le 1)$は, $Y \sim \mathrm{B}(n,p_0)$として,
\varphi(\bm{X}) = \begin{cases}
1&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} > c\lnl
r&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} = c\lnl
0&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} < c\lnl \end{cases} \end{align}
\begin{align}
&P(Y > c) + r P(Y=c) = \alpha \lnl
&\Longrightarrow P(Y \ge c+1 ) + r P(Y=c) = \alpha \lnl
&\Longrightarrow \sum_{x=c+1}^n \binom{n}{x} {p_0}^x(1-p_0)^{n-x} + r\binom{n}{c} {p_0}^c (1-p_0)^{n-c} = \alpha
\end{align}
&\Longrightarrow P(Y \ge c+1 ) + r P(Y=c) = \alpha \lnl
&\Longrightarrow \sum_{x=c+1}^n \binom{n}{x} {p_0}^x(1-p_0)^{n-x} + r\binom{n}{c} {p_0}^c (1-p_0)^{n-c} = \alpha
\end{align}
を満たすように選ぶ.このような$(c, r)$は必ず一意に存在する.