ex7.A.8 適合性の検定（その2）

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.A.8

与えられた分布がポアソン分布に従っているとすると, そのパラメータ$\lambda$の最尤推定量$\hat{\lambda}$は, $\overline{X}$である.
すなわち,

\begin{align}
\hat{\lambda} &= \frac{1}{100}(0\cdot 38 + 1\cdot 35 + 2\cdot 15 + 3\cdot 8 + 4\cdot 3 + 5\cdot 1) = 1.06
\end{align}

である.パラメータ$1.06$のポアソン分布の確率関数を$f(x) = \cfrac{1.06^x}{x!}e^{-1.06}$とする.5分間に$i$回かかってくる確率を$p_i$とすると, $i=0,1,\cdots,4$の場合は,
\begin{align}
&p_0 = f(0) \fallingdotseq 0.346\\
&p_1 = f(1) \fallingdotseq 0.367\\
&p_2 = f(2) \fallingdotseq 0.195\\
&p_3 = f(3) \fallingdotseq 0.069\\
&p_4 = f(4) \fallingdotseq 0.018
\end{align}

である.$p_5$は$5$回かかってくる確率ではなく, $5$回以上かかってくる確率とすると,
\begin{align}
p_5 =1- (p_0+p_1+\cdots+p_4) = 0.005
\end{align}

これを期待確率として, 各回数の期待度数を求めると,

$
\begin{array}{|c||*{6}{c|}|c|} \hline
\text{回数}i&0&1&2&3&4&5&\text{計} \\\hline
\text{(観測)度数}&36&35&15&8&3&1&100 \\\hline
\text{期待度数}&34.6&36.7&19.5&6.9&1.8&0.5&100\\ \hline
\end{array}
$

となる.これを用いて$Q(\bm{X})$を計算すると,

\begin{align}
Q(\bm{X}) &= \frac{(36-34.6)^2}{34.6} + \frac{(35-36.7)^2}{36.7} + \cdots + \frac{(1-0.5)^2}{0.5} \lnl
&\fallingdotseq 2.927
\end{align}

$Q(\bm{X})$が従うカイ二乗分布の自由度は,$6-1-1 = 4$である. 統計表より,
\begin{align}
\chi^2_{4,0.6} = 2.7528 , \quad \chi^2_{4,0.4} = 4.0446
\end{align}

であるから, 有意確率$p$は,
\begin{align}
0.4 < p < 0.6 \end{align}
である. 尤度比検定を行った場合は,
\begin{align} -2\log \lambda(\bm{X}) &= 2\left(36\log \frac{36}{34.6} + 35\log\frac{35}{36.7} + \cdots + 1\log\frac{1}{0.5} \right)\lnl &\fallingdotseq 2.751 \end{align}
である.$\chi^2_{4,0.7}= 1.947$だから, 有意確率$p$は,
\begin{align} 0.6 < p < 0.7 \end{align}
である.