ex1.5.1 全確率の定理による出玉の確率

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.5.1

事象を次のように定義する。
$\textrm{BOX}_A$:箱Aを選ぶ事象
$\textrm{BOX}_B$:箱Bを選ぶ事象
$\textrm{BOX}_C$:箱Cを選ぶ事象
$\textrm{BALL}_R$:赤玉を取り出す事象
$\textrm{BALL}_B$:青玉を取り出す事象

(a)全確率の定理より求める確率は、

\begin{align}
P(\textrm{BALL}_B) &= \sum_{k \in \{A,B,C\}} P(\textrm{BOX}_k)P(\textrm{BALL}_B | \textrm{BOX}_k)
\end{align}

ここで、
\begin{align}
\begin{cases}\displaystyle
P(\textrm{BOX}_k) &= \cfrac{1}{3}& (k \in \{A,B,C\})\\
P(\textrm{BALL}_B | \textrm{BOX}_A) &= \cfrac{1}{2}\\
P(\textrm{BALL}_B | \textrm{BOX}_B) &= \cfrac{3}{4}\\
P(\textrm{BALL}_B | \textrm{BOX}_C) &= \cfrac{3}{5}
\end{cases}
\end{align}

であるから、
\begin{align}
P(\textrm{BALL}_B) &= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}\\
&= \frac{37}{60}
\end{align}

(b)

\begin{align}
P(\textrm{BOX}_A|\textrm{BALL}_B) = \frac{P(\textrm{BOX}_A\cap \textrm{BALL}_B)}{P(\textrm{BALL}_B)} = \frac{1}{3}\frac{1}{2} \bigg/ \frac{37}{60} = \frac{10}{37}
\end{align}