ex4.6.12 必要な精度に必要な標本数を求める場合にチェビシェフの不等式と中心極限定理の違い

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.6.12

(a)
母集団平均を$\mu$とする.$E(\overline{X}_n)=\mu$なので, チェビシェフの不等式より,

\begin{align}
P(|\overline{X}_n – \mu)| \le 0.5\sigma) \le 1-\frac{V(\overline{X}_n)}{(0.5\sigma)^2}
\end{align}

ここで, $V(\overline{X}_n) = \cfrac{\sigma^2}{n}$なので,
\begin{align}
1-\frac{V(\overline{X}_n)}{(0.5\sigma)^2} &= 1-\frac{1}{n(0.5)^2}
\end{align}

となる.これが$0.99$より大きい$n$を求めればよい.
\begin{align}
&1- \frac{1}{n(0.5)^2} \ge 0.99 = 1-0.01\\
\Longleftrightarrow\quad & n \ge \frac{1}{0.5^2\times 0.01} = 400
\end{align}

よって標本数は$400$必要.

(b)
中心極限定理より$\overline{X}_n \sim \mathrm{N}\left(\mu,\cfrac{\sigma^2}{n}\right)$であるので,

\begin{align}
P(|\overline{X}_n-\mu| \le 0.5\sigma) = P(|Z| \le 0.5\sqrt{n}) = 0.99
\end{align}

標準正規分布表より$z_{0.995} = 2.58$なので,
\begin{align}
0.5\sqrt{n} = 2.58 \Leftrightarrow n = 26.6256
\end{align}

よって標本数は$27 (26.6256)$必要.