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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.4.4

確率変数$X$の確率密度関数は、

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} \cfrac{1}{2} & (-1 \le x \le 1)\lnl
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}

である。
(a)
$ -1 \le x \le 1 \Leftrightarrow -1 \le y \le 1$に注意して、

\begin{align}
F_Y(y) &= P(Y \le y)\lnl
&= P(-X \le y)\lnl
&= P(X \ge -y) \lnl
&= \int_{-y}^{1} \frac{1}{2} \delt x\lnl
&= \begin{cases}0 & (y < -1)\lnl \cfrac{y+1}{2} & (-1 \le y \le 1)\lnl 1&(y > 1)\end{cases}\Lnl
f_Y(y) &= \begin{cases}\cfrac{1}{2}&(-1 \le y \le 1)\lnl
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}

(b)
$ x = \pm\sqrt{y-1}$ ,
$ -1 \le x \le 1 \Leftrightarrow 1 \le y \le 2$であるので、

\begin{align}
F_Y(y) &= P(Y \le y)\lnl
&= P(X^2 + 1 \le y)\lnl
&= P(-\sqrt{y-1} \le X \le \sqrt{y-1} )\lnl
&= \int_{-\sqrt{y-1}}^{\sqrt{y-1}} \frac{1}{2} \delt x\lnl
&= \begin{cases}0 & (y < 1)\lnl \sqrt{y-1} & ( 1 \le y \le 2)\lnl 1&(y > 2)\end{cases}\lnl
f_Y(y) &= \begin{cases}\cfrac{1}{2\sqrt{y-1}}&(1 \le y \le 2)\lnl
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}

(c)
$ x = \pm y$,
$ -1 \le x \le 1 \Leftrightarrow 0 \le y \le 1$であるので、

\begin{align}
F_Y(y) &= P(Y \le y)\lnl
&= P(|X| \le y)\lnl
&= P(- y \le X \le y )\lnl
&= \int_{-y}^{y} \frac{1}{2} \delt x\lnl
&= \begin{cases}0 & (y < 0)\lnl y & ( 0 \le y \le 1)\lnl 1&(y > 1)\end{cases}\Lnl
f_Y(y) &= \begin{cases}1&(0 \le y \le 1)\lnl
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}