ex6.1.1 ランダム標本の線形結合が不偏推定量になる条件とMSEを最小とする条件

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.1.1

(i)$E(X_i) = \mu , i=1,\cdots,n$を用いると、

\begin{align}
E(T(\bm{X})) = E\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right) = \mu
\end{align}

よって$T(\bm{X})$は$\mu$の不偏推定量となる。そのM.S.E.は、
\begin{align}
\textrm{MSE}(T(\bm{X}),\mu) &= E((T(\bm{X}) – \mu)^2)\\
&=E(T(\bm{X})^2 -2\mu T(\bm{X}) + \mu^2)
\end{align}

ここで、
\begin{align}
E(T(\bm{X})^2) &= E\left(\frac{{X_1}^2 + 2X_1 X_2 + {X_2}^2}{4}\right)\\
&= \frac{1}{2}\sigma^2 + \mu^2
\end{align}

であるから、
\begin{align}
\textrm{MSE}(T(\bm{X}),\mu) &= \frac{1}{2}\sigma^2
\end{align}

となる。

(ii)

\begin{align}
E(S(\bm{X})) &= \sum_{i=1}^n c_i E(X_i)\\
&= \mu \left(\sum_{i=1}^n c_i \right)
\end{align}

ここで、$\displaystyle \sum_{i=1}^n c_i =1$なので、$S(\bm{X})$は$\mu$の不偏推定量となる。
また、M.S.E.は、
\begin{align}
\textrm{MSE}(S(\bm{X}),\mu) &= E(S(\bm{X})^2 – 2\mu S(\bm{X}) + \mu^2)
\end{align}

ここで、
\begin{align}
E(S(\bm{X})^2) &= E\left( \sum_{i=1}^n {c_i}^2 {X_i}^2 + \sum_{i \neq j} c_i c_j X_i X_j\right)\\
&=(\mu^2 + \sigma^2)\sum_{i=1}^n c_i^2 + \mu^2 \left(\sum_{i \neq j} c_i c_j\right)
\end{align}

よって、
\begin{align}
\textrm{MSE}(S(\bm{X}),\mu) &=(\mu^2 + \sigma^2)\sum_{i=1}^n {c_i}^2 + \mu^2 \sum_{i\neq j} c_i c_j – 2\mu^2 \sum_{i=1}^n c_i + \mu^2\\
&= \sigma^2 \sum_{i=1}^n c_i^2 + \mu^2 \left( \sum_{i=1}^n c_i^2 + \sum_{i \neq j} c_i c_j -1\right)
\end{align}

ここで、
\begin{align}
\sum_{i=1}^n &c_i^2 + \sum_{i \neq j}c_i c_j \\
&= \sum_{i=1}^n c_i \sum_{j=1}^n c_j \\
&= 1
\end{align}

であるので、
\begin{align}
\textrm{MSE}(S(\bm{X}),\mu)
&= \sigma^2 \sum_{i=1}^n c_i^2
\end{align}

これを最小にする$\{c_i\}$の条件を求めればよい。
シュワルツの不等式より、
\begin{align}
n \sum_{i=1}^n {c_i}^2 &\ge \left(\sum_{i=1}^n c_i\right)^2 = 1^2 = 1 \\
\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^n {c_i}^2 &\ge \frac{1}{n}
\end{align}

等号成立条件は$c_1 = c_2 = \cdots =c_n$の場合のみ。
総和が$1$となることに注意すると、$c_1 = c_2= \cdots = c_n = \cfrac{1}{n}$となり、題意が示された。