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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.4.6

$ W=w $となるのは、
(1) $X$が$w$に等しく、$Y$が$w$より大きい場合
(2) $X$が$w$より大きく、$Y$が$w$に等しい場合
(3) $X$と$Y$が共に$w$に等しい場合
である。それぞれ確率を計算すると、
(1)

\begin{align}
&P(X=w)P(Y> w) \lnl
&\quad= p(1-p)^w (1-P(Y \le w))\lnl
&\quad=p(1-p)^w \left(1-\sum_{i=0}^{w-1} p(1-p)^i\right)\lnl
&\quad=p(1-p)^w (1-1+(1-p)^{w+1})\lnl
&\quad=p(1-p)^{2w+1}
\end{align}

(2) (1)と同様で、

\begin{align}
P(X>w)P(Y= w) &=p(1-p)^{2w+1}
\end{align}

(3)

\begin{align}
P(X=w)P(Y= w) &= p^2(1-p)^{2w}
\end{align}

よって、

\begin{align}
&P(W=w) \lnl
&\quad= P(X=w)P(Y> w) + P(X>w)P(Y= w) \lnl
&\qquad + P(X=w)P(Y= w)\lnl
&\quad= 2p(1-p)^{2w+1} + p^2(1-p)^{2w}\lnl
&\quad= p(1-p)^{2w}(2-p)
\end{align}

よって示された。