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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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与えられた確率より

\begin{align}
P(|X| \ge 1) = P(X = -1 ) + P(X = 1) = \frac{1}{4}
\end{align}

また、

\begin{align}
E(X) &= 0\\
E(X^2) &= \frac{1}{4}\\
V(X)&= \frac{1}{4}
\end{align}

であるので、チェビシェフの不等式より

\begin{align}
P(|X| \ge 1) \le \frac{1}{4}
\end{align}

直接計算でチェビシェフの不等式で求められる下限となっている。