はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
$\require{cancel}$
ex1.A.5
(a) ある問題に正解する確率を$p =1/3$ , 誤答する確率を $q = 1-p=2/3$ とする。
\begin{align}p\cdot p\cdot p\cdot p\cdot p\cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q = p^5q^5 = \left(\frac{1}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^5\end{align}
(b)
\begin{align}\binom{10}{5} p^5 q^5 = \binom{10}{5}\left(\frac{1}{3}\right)^5\left(\frac{2}{3}\right)^5\end{align}
(c)全問不正解の補事象だから、
\begin{align}1-\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\end{align}
(d)$A$:正解が5問以下の事象、$B$:正解が2問の事象とする
\begin{align}P(A) &= \sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}p^i q^{10-i} \\
&= \frac{1}{3^{10}}\Big(1\cdot 2^{10} + 10 \cdot 2^9 + 45\cdot 2^8 + 120 \cdot 2^7 + 210 \cdot 2^6 + 252\cdot 2^5\Big)\\
P(A\cap B) &= \binom{10}{2} p^2 q^8 = \frac{45\cdot 2^8}{3^{10}} \end{align}
&= \frac{1}{3^{10}}\Big(1\cdot 2^{10} + 10 \cdot 2^9 + 45\cdot 2^8 + 120 \cdot 2^7 + 210 \cdot 2^6 + 252\cdot 2^5\Big)\\
P(A\cap B) &= \binom{10}{2} p^2 q^8 = \frac{45\cdot 2^8}{3^{10}} \end{align}
であるから、
\begin{align}
P(B|A) &= \frac{P(A\cap B)} {P(A) } \\
&=\frac{45\cdot 2^8}{1\cdot 2^{10} + 10 \cdot 2^9 + 45\cdot 2^8 + 120 \cdot 2^7 + 210 \cdot 2^6 + 252\cdot 2^5} \cdot \frac{\cancel{3^{10}}}{\cancel{3^{10}}}\\
&=\frac{45\cdot 2^3}{1\cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 + 45\cdot 2^3 + 120 \cdot 2^2 + 210 \cdot 2^1 + 252\cdot 2^0} \\
&= \frac{360}{32 + 160 + 360 + 480 + 420 + 252}\\
&= \frac{15}{71}
\end{align}
P(B|A) &= \frac{P(A\cap B)} {P(A) } \\
&=\frac{45\cdot 2^8}{1\cdot 2^{10} + 10 \cdot 2^9 + 45\cdot 2^8 + 120 \cdot 2^7 + 210 \cdot 2^6 + 252\cdot 2^5} \cdot \frac{\cancel{3^{10}}}{\cancel{3^{10}}}\\
&=\frac{45\cdot 2^3}{1\cdot 2^5 + 10 \cdot 2^4 + 45\cdot 2^3 + 120 \cdot 2^2 + 210 \cdot 2^1 + 252\cdot 2^0} \\
&= \frac{360}{32 + 160 + 360 + 480 + 420 + 252}\\
&= \frac{15}{71}
\end{align}