ex7.3.5 平均・分散未知の正規母集団の平均に関する尤度比検定の具体例

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.3.5

例7.3.1より,

\begin{align}
T(\bm{X}) = \frac{\sqrt{n}\left(\overline{X} – \mu_0\right)}{\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{\left(X_i – \overline{X}\right)^2}{n-1}}}
\end{align}

としたとき, $T(\bm{X})$は自由度$n-1$の$t$分布に従う.
従って求める検定は,
\begin{align}
\left|T(\bm{X})\right| =\left| \frac{\sqrt{16}\left(\overline{X} – 20 \right)}{\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{16} \frac{\left(X_i – \overline{X}\right)^2}{15}}} \right|> t_{15,0.025} = 2.131
\end{align}

なら帰無仮説を棄却する検定である.

ここで$\overline{X}= 18.4 ,\displaystyle \sum_{i=1}^{16}(X_i – \overline{X})^2 = 64.5$を代入すると,$T(\bm{X}) = -3.086$となるため,帰無仮説は棄却される.

また,$t_{15,0.05}=1.753 , t_{15,0.005}= 2.977$なのでいずれの場合も同じく帰無仮説は棄却される.