ex3.1.3 パラメータp,1-pを持つ2つの二項分布の確率関数の関係

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.1.3

\begin{align}
P(X \le k) &= \sum_{i=0}^k P(X=i)\\
&=\sum_{i=0}^k \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \\
&=\sum_{i=0}^k \binom{n}{n-i} (1-p)^{n-i}p^i & \left(\because \binom{n}{i} = \binom{n}{n-i} \right)\\
&=\sum_{j=n-k}^n \binom{n}{j} (1-p)^j p^{n-j} &(\text{Put } n-i \text{ as } j)\\
&= P(Y \ge n-k)
\end{align}

よって示された。