ex4.1.5 一様分布のランダム標本の和と差の分布の結合確率密度関数

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.1.5

$X_1 , X_2 \sim U(0,1)$より, 密度関数$f_{X_i} (i=1,2)$は,

\begin{align}
f_{X_i}(x) = \begin{cases}
1&0 < x < 1\lnl
0&\text{その他}
\end{cases}
\end{align}

である.

$T_1=X_1+X_2 , T_2= X_1 – X_2$のとき ,

\begin{align}
X_1 = \frac{T_1 + T_2}{2}\lnl
X_2 = \frac{T_1 – T_2}{2}
\end{align}

である.変換のヤコビアン$J$は,
\begin{align}
J = \left|
\begin{array}{cc}
\cfrac{\partial x_1}{\partial t_1}& \cfrac{\partial x_1}{\partial t_2}\lnl
\cfrac{\partial x_2}{\partial t_1}&\cfrac{\partial x_2}{\partial t_2}
\end{array}
\right| = \left|
\begin{array}{cc}
\cfrac{1}{2} & \cfrac{1}{2}\lnl
\cfrac{1}{2}& -\cfrac{1}{2}
\end{array}
\right| = -\frac{1}{2}
\end{align}

となる. よって$T_1,T_2$の結合確率密度関数$f_{T_1T_2}(t_1,t_2)$は,$X_1, X_2$が独立であることを用いると,
\begin{align}
f_{T_1T_2}(t_1,t_2) &= f_{X_1X_2}\left(\frac{t_1 + t_2}{2},\frac{t_1 – t_2}{2}\right)\big|J\big|\lnl
&=\frac{1}{2}\cdot f_{X_1}\left(\frac{t_1+t_2}{2}\right)f_{X_2}\left(\frac{t_1-t_2}{2}\right)\label{eq-mi}
\end{align}

となる.

ここで, $f_{X_1}\left(\cfrac{t_1+t_2}{2}\right) \ne 0 , f_{X_2}\left(\cfrac{t_1-t_2}{2}\right) \ne 0$となる$t_1,t_2$の条件を求める.

$f_{X_i}$の定義より,

\begin{align}
\begin{cases}0 < \cfrac{t_1+t_2}{2} < 1 \lnl
0 < \cfrac{t_1-t_2}{2} < 1\end{cases}\label{eq-joken}
\end{align}

を同時に満たす必要がある.$\eqref{eq-joken}$の両式を変形して,
\begin{align}
\begin{cases} -t_1 < t_2 < 2-t_1 \lnl
t_1 -2 < t_2 < t_1\end{cases}
\end{align}

となるから,両式を合わせて,
\begin{align}
\max(-t_1,t_1-2) < t_2 < \min(2-t_1,t_1)\label{eq-maxmin}
\end{align}

となる.これは,
\begin{align}
\max(-t_1 , t_1 – 2) = \begin{cases}-t_1&(0 < t_1 < 1) \lnl
t_1 – 2 & (1 \le t_1 < 2)\end{cases}\Lnl
\min(2-t_1 , t_1 ) = \begin{cases}t_1&(0 < t_1 < 1) \lnl
2 – t_1 & (1 \le t_1 < 2)\end{cases}
\end{align}

であるから,
\begin{align}
D_1 &= \big\{(t_1,t_2) : 0 < t_1 < 1 , -t_1 < t_2 < t_1 \big\}\lnl
D_2 &= \big\{(t_1,t_2) : 1 \le t_1 < 2 , t_1 – 2 < t_2 < 2 – t_1 \big\}\lnl
D &= D_1 \cup D_2
\end{align}

とおくと,$D$の範囲で$\eqref{eq-mi}$は$0$とならず, その値は$f_{T_1T_2}(t_1,t_2) = \cfrac{1}{2}$となる.

従って,

\begin{align}
f_{T_1T_2}(t_1,t_2) &= \begin{cases}\cfrac{1}{2}&(t_1,t_2) \in D\lnl
0&\text{その他}\end{cases}
\end{align}

となる.