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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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(a)

\begin{align}
P(X=0) &= \frac{{}_7\comb_3}{{}_{10}\comb_3} = \frac{7}{24}\\
P(X=1) &= \frac{{}_3\comb_1 \times _7\comb_2}{{}_{10}\comb_3}= \frac{21}{40}\\
P(X=2) &= \frac{ {}_3\comb_2 \times _7\comb_1}{{}_{10}\comb_3}= \frac{7}{40}\\
P(X=3) &= \frac{_3\comb_3}{{}_{10}\comb_3} = \frac{1}{120}
\end{align}

であるから、分布関数は

\begin{align}
F_X(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0)\lnl \cfrac{7}{24} & (0 \le x < 1)\lnl \cfrac{49}{60} & (1 \le x < 2)\lnl \cfrac{119}{120} & (2 \le x < 3)\lnl 1 & (3 \le x)\end{cases} \end{align}
(b)
\begin{align} P(X=0) &= \frac{7}{10} \times \frac{7}{10} \times \frac{7}{10} = \left(\frac{7}{10} \right)^3 \\ P(X=1) &= _3\comb_1\frac{3}{10}\times \frac{7}{10} \times\frac{7}{10} =\frac{9}{10}\left(\frac{7}{10} \right)^2\\ P(X=2) &= _3\comb_2\frac{3}{10}\times \frac{3}{10} \times\frac{7}{10} =3\left( \frac{3}{10}\right)^2\left(\frac{7}{10} \right)\\ P(X=3) &= \frac{3}{10} \times \frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \left(\frac{3}{10} \right)^3 \end{align}
であるから、分布関数は
\begin{align} F_X(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0)\lnl \cfrac{343}{1000} & (0 \le x < 1)\lnl \cfrac{784}{1000} & (1 \le x < 2)\lnl \cfrac{973}{1000} & (2 \le x < 3)\lnl 1 & (3 \le x)\end{cases} \end{align}