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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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\begin{align}
P(X=k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}
\end{align}

であるから、

\begin{align}
\frac{P(X=k + 1)}{P(X=k)}&= \frac{\binom{K}{k + 1}\binom{N-K}{n-k – 1}}{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}\lnl
& =\frac{(K-k)(n-k)} {(k+1)(N-K-n+k+1)}
\end{align}

となる。

\begin{align}
\frac{P(X=k + 1)}{P(X=k)} \ge 1
\end{align}

を解いて、

\begin{align}
k \le \underline {\frac{(n+1)(K+1)}{N+2} }-1
\end{align}

下線部を$c$とおく。
(1) $c$ が整数でない場合、$z$を$c$を超えない最大の整数とすると、
$ z -1< c-1 < z $が成り立つから、

\begin{align} P(X=0) < P(X=1) < &\cdots < P(X=z-1) <\\ &\quad P(X=z)\\ &\qquad > P(X=z+1) > \cdots P(X=n)
\end{align}

(2)$c$が整数の場合、

\begin{align}
P(X=0) < &P(X=1) < \cdots <\\ &\quad P(X=c-1) = P(X=c) \\ &\qquad > P(X=c+1) > \cdots P(X=n)
\end{align}

よって示された。